To'lqin funksiya

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Navigatsiya qismiga oʻtish Qidirish qismiga oʻtish
Yakka spinsiz zarra uchun klassik va kvant garmonik ossilyator tushunchalarini solishtirish. Ikki jarayon juda katta farq qiladi. Klassik jarayon (A-B) zarrachaning traektoriya bo'ylab harakati sifatida namoyon bo'ladi. Kvant jarayon (C–H) bunday traektoriyaga ega emas. Aksincha, u to'lqin sifatida ifodalanadi; bu yerda vertikal o'q to'lqin funktsiyasining haqiqiy qismini (ko'k) va xayoliy qismini (qizil) ko'rsatadi. (C–F) Panellar Shredinger tenglamasining toʻrt xil toʻlqin uchun yechimni koʻrsatadi. (G-H) Panellar qo'shimcha ravishda Shredinger tenglamasining yechimlari bo'lgan, ammo turg'un to'lqinlar bo'lmagan ikki xil to'lqin funksiyasini ko'rsatadi.

Kvant fizikasidagi to'lqin funksiyasi izolyatsiya qilingan tizim kvant holatining matematik tavsifidir. To'lqin funksiyasi murakkab qiymatli ehtimollik amplitudasi bo'lib, tizimda o'tkazilgan o'lchovlarning mumkin bo'lgan natijalari uchun ehtimolliklar undan olinishi mumkin. To'lqin funksiyasi uchun eng keng tarqalgan belgilar yunoncha ψ va Ψ (mos ravishda kichik va katta psi).

To'lqin funksiyasi kommutatsiya kuzatilishi mumkin bo'lgan ba'zi maksimal to'plamga mos keladigan erkinlik darajalarining funksiyasidir. Bunday tasavvur tanlangandan so'ng, to'lqin funksiyasi kvant holatidan olinishi mumkin.

Berilgan tizim uchun qaysi kommutatsiya erkinlik darajalarini tanlash yagona emas va shunga mos ravishda to'lqin funksiyasining sohasi ham yagona emas. Masalan, uni zarrachalarning joylashuv fazosidagi barcha koordinatalarining funksiyasi yoki impuls fazosidagi barcha zarrachalarning momentlarining funksiyasi sifatida qabul qilish mumkin; ikkalasi Furye konvertatsiyasi bilan bog'langan. Elektronlar va fotonlar kabi ba'zi zarralar nolga teng bo'lmagan spinga ega va bunday zarralar uchun to'lqin funksiyasi spinning o'ziga xos, diskret erkinlik darajasi sifatida o'z ichiga oladi; izospin kabi boshqa diskret o'zgaruvchilar ham kiritilishi mumkin. Agar tizim ichki erkinlik darajalariga ega bo'lsa, to'lqin funksiyasi uzluksiz erkinlik darajalarining har bir nuqtasida (masalan, fazodagi nuqta) diskret erkinlik darajalarining har bir mumkin bo'lgan qiymati uchun kompleks sonni belgilaydi (masalan, z- spinning komponenti) - bu qiymatlar ko'pincha ustun matritsada ko'rsatiladi (masalan, spinli relativistik bo'lmagan elektron uchun 2 × 1 ustunli vektor.

Kvant mexanikasining superpozitsiya prinsipiga ko'ra, to'lqin funksiyalari yangi to'lqin funksiyalari va Gilbert fazosini hosil qilish uchun bir-biriga qo'shilishi va murakkab raqamlarga ko'paytirilishi mumkin. Ikki to'lqin funksiyasi orasidagi ichki yig'indi mos keladigan fizik holatlar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik o'lchovidir va kvant mexanikasining asosiy ehtimollik talqinida, ichki yig'indiga o'tish ehtimoli bilan bog'liq "Born qoidasi" dan foydalaniladi. Shredinger tenglamasi to'lqin funksiyalarining vaqt o'tishi bilan qanday rivojlanishini aniqlaydi va to'lqin funksiyasi boshqa to'lqinlar, masalan, suv to'lqinlari yoki ipdagi to'lqinlar kabi sifat jihatidan harakat qiladi, chunki Shredinger tenglamasi matematik jihatdan to'lqin tenglamasining bir turidir. Bu "to'lqin funksiyasi" nomini tushuntiradi va to'lqin-zarracha dualizmini keltirib chiqaradi. Biroq, kvant mexanikasidagi to'lqin funksiyasi klassik mexanik to'lqinlardan tubdan farq qiladigan turli talqinlarga ochiq bo'lgan fizik hodisani tasvirlaydi. [1]

Bornning relyativistik bo'lmagan kvant mexanikasidagi statistik talqinida[2][3][4] to'lqin funksiyasining kvadrat moduli, zarrachani ma'lum bir joyda - yoki ma'lum bir impulsga ega - ma'lum bir vaqtda o'lchash ehtimoli zichligi sifatida talqin etiladigan va diskret erkinlik darajalari uchun ma'lum qiymatlarga ega bo'lishi mumkin bo'lgan haqiqiy son. Bu miqdorning integrali, tizimning barcha erkinlik darajalari bo'yicha, ehtimollik talqiniga muvofiq 1 ga teng bo'lishi kerak. To'lqin funksiyasi qanoatlantirishi kerak bo'lgan ushbu umumiy talabga normalizatsiya sharti deyiladi. To'lqin funksiyasi murakkab qiymatli bo'lganligi sababli, faqat uning nisbiy fazasi va nisbiy kattaligini o'lchash mumkin - uning qiymati alohida holda, o'lchanadigan kuzatiluvchilarning kattaliklari yoki yo'nalishlari haqida hech narsa aytmaydi; ψ to'lqin funksiyasiga xos qiymatlari o'lchovlarning mumkin bo'lgan natijalari to'plamiga mos keladigan kvant operatorlarini qo'llash va o'lchanadigan kattaliklar uchun statistik taqsimotlarni hisoblash kerak.

Tarixiy kelib chiqish[tahrir | manbasini tahrirlash]

1905-yilda Albert Eynshteyn foton chastotasi va uning energiyasi , o'rtasidagi proporsionallikni  : ,[5] va 1916-yilda fotonning impulsi va to'lqin uzunligi , o'rtasidagi mos keladigan munosabat ,ni ilgari surdi ,[6] bu yerda Plank doimiysi. 1923-yilda De Broyl bu munosabatni birinchi bo'lib taklif qildi , endi uni De Broyl munosabati deb ataladi, munosabat massiv zarralar uchun amal qiladi, asosiy ishora Lorents o'zgarmasligi [7] va bu kvant mexanikasining zamonaviy rivojlanishi uchun boshlang'ich nuqta sifatida qaralishi mumkin. Tenglamalar ham massasiz, ham massiv zarralar uchun to'lqin-zarracha dualizminini ifodalaydi.

1920-1930-yillarda kvant mexanikasi hisob va chiziqli algebra yordamida ishlab chiqilgan. Hisoblash texnikasidan foydalanganlar orasida Lui de Broyl, Ervin Shredinger va boshqalar bor edi, ular "to'lqin mexanikasi" ni rivojlantirdilar. Chiziqli algebra usullarini qo'llaganlar orasida Verner Geyzenberg, Maks Born va boshqalar "matritsa mexanikasi"ni ishlab chiqdilar. Keyinchalik Shredinger bu ikki yondashuv ekvivalent ekanligini ko'rsatdi. [8]

1926-yilda Shredinger hozir uning nomi bilan atalgan mashhur to'lqin tenglamasi, Shredinger tenglamasini nashr etdi. Bu tenglama kvant operatorlari va de Broyl munosabatlaridan foydalangan holda energiyaning klassik saqlanishiga asoslangan va tenglamaning yechimlari kvant tizimi uchun to'lqin funksiyalari hisoblanadi. [9] Biroq, hech kim uni qanday talqin qilishni aniq bilmas edi. [10] Dastlab Shredinger va boshqalar toʻlqin funksiyalari toʻlqin funksiyasi katta boʻlgan zarrachalarning koʻp qismi tarqaladigan zarralarni ifodalaydi, deb oʻylashgan. [11] Bu to'lqin paketining (zarrachani ifodalovchi) nishondan elastik tarqalishi bilan mos kelmasligi ko'rsatilgan; u har tomonga tarqaladi.[2] Tarqalgan zarracha istalgan yo'nalishda sochilishi mumkin bo'lsa-da, u parchalanmaydi va har tomonga uchib ketmaydi. 1926-yilda Born ehtimollik amplitudasi tushunchasini taqdim etdi.[2][3] [12] Bu kvant mexanikasi hisoblarini toʻgʻridan-toʻgʻri ehtimollik eksperimental kuzatishlar bilan bogʻlaydi. U kvant mexanikasini Kopengagen talqinining bir qismi sifatida qabul qildi. Kvant mexanikasining boshqa ko'plab talqinlari mavjud. 1927-yilda Xartri va Fok <i id="mwkA">N</i> -jinsli to'lqini funksiyasini yechishga urinishda birinchi qadamni qo'yishdi va o'z-uzluksizlik siklini ishlab chiqdilar: yechimga yaqinlashish uchun iterativ algoritm. Hozirda u Xartri-Fok usuli sifatida ham tanilgan. [13] Sleyter determinanti va doimiy (matritsaning bo'lagi) Jon C. Slater tomonidan taqdim etilgan usulning bir qismi edi.

Shredinger relyativistik bo'lmagan tenglamani nashr etishdan oldin energiya aylanishini mantiqiy jihatdan qondiradigan to'lqin funksiyasi uchun tenglamaga duch keldi, lekin manfiy ehtimolliklar va manfiy energiyani bashorat qilgani uchun uni rad etdi. 1927-yilda Klein, Gordon va Fok ham uni topdilar, ammo elektromagnit o'zaro ta'sirni o'z ichiga oldilar va uning Lorentz invariantligini isbotladilar. De Broyl ham xuddi shu tenglamaga 1928-yilda kelgan. Ushbu relyativistik to'lqin tenglamasi hozirda Klein-Gordon tenglamasi sifatida tanilgan. [14]

1927-yilda Pauli fenomenologik jihatdan elektromagnit maydonlardagi spin-1/2 zarrachalarni tasvirlash uchun relyativistik bo'lmagan tenglamani topdi, bu hozirda Pauli tenglamasi deb ataladi. [15] Pauli toʻlqin funksiyasi fazo va vaqtning yagona kompleks funksiyasi bilan tavsiflanmaganligini, lekin fermionning spini +1/2 va -1/2 bo'lgan holatlariga mos keladigan ikkita kompleks songa ehtiyoj borligini aniqladi. Ko'p o'tmay, 1928-yilda Dirak elektronga qo'llaniladigan maxsus nisbiylik va kvant mexanikasining birinchi muvaffaqiyatli birlashuvidan tenglamani topdi, va bu hozirda Dirak tenglamasi deb ataladi. Bunda to'lqin funksiyasi to'rtta murakkab qiymatli komponentlar bilan ifodalangan <i id="mwsg">spinordir</i> : [13] ikkita elektron uchun va ikkitasi elektronning antizarrasi, pozitron uchun. Relyativistik bo'lmagan chegarada Dirak to'lqin funksiyasi elektron uchun Pauli to'lqin funksiyasiga o'xshaydi. Keyinchalik boshqa relyativistik to'lqin tenglamalari topildi.

Zamonaviy nazariyalarda toʻlqin funksiyalari va toʻlqin tenglamalari[tahrir | manbasini tahrirlash]

Ushbu to'lqin tenglamalarining barchasi doimiy ahamiyatga ega. Shredinger tenglamasi va Pauli tenglamasi ko'p hollarda relyativistik variantlarning ajoyib yaqinlashuvidir. Ularni amaliy masalalarda hal qilish relativistik o'xshashlariga qaraganda ancha oson.

Klein-Gordon tenglamasi va Dirak tenglamasi relyativistik bo'lishiga qaramay, kvant mexanikasi va maxsus nisbiylik nazariyasining to'liq mos kelishini anglatmaydi. Ushbu tenglamalar Shredinger tenglamasi kabi o'rganiladigan kvant mexanikasi bo'limi ko'pincha relyativistik kvant mexanikasi deb ataladi, lekin juda muvaffaqiyatli bo'lishi bilan birga, o'z cheklovlariga (masalan, qarang. Lamb shift) va kontseptual muammolar (masalan, qarang Dirak dengizi) ga ega.

Nisbiylik tizimidagi zarrachalar soni doimiy emasligini muqarrar qiladi. To'liq yarashish uchun kvant maydon nazariyasi kerak.[16] Ushbu nazariyada to'lqin tenglamalari va to'lqin funktsiyalari o'z o'rniga ega, ammo biroz boshqacha ko'rinishda. Asosiy qiziqish ob'ektlari to'lqin funktsiyalari emas, balki Gilbert holatlar fazosidagi maydon operatorlari (yoki "operator" tushuniladigan maydonlar) deb ataladigan operatorlardir (keyingi bo'limda tasvirlanadi). Ma’lum boʻlishicha, Hilbert fazosini qurish uchun dastlabki relyativistik toʻlqin tenglamalari va ularning yechimlari hali ham zarur. Bundan tashqari, erkin maydonlar operatorlari, ya'ni o'zaro ta'sirlar mavjud emas deb hisoblanganda, ko'p hollarda maydonlar (to'lqin funktsiyalari) bilan bir xil tenglamani (rasmiy ravishda) qondiradi.

Bu erkin maydon tenglamalari uchun amal qiladi; o'zaro ta'sirlar kiritilmagan. Agar Lagranjian zichligi (shu jumladan o'zaro ta'sirlar) mavjud bo'lsa, u holda Lagranj formalizmi klassik darajadagi harakat tenglamasini beradi. Bu tenglama juda murakkab bo'lishi mumkin va uni hal qilish mumkin emas. Har qanday yechim zarrachalarning qat'iy soniga ishora qiladi va oddiy "birinchi kvantlangan" kvant nazariyasidagi kabi tashqi potentsiallarni emas, balki zarralarni yaratish va yo'q qilishni o'z ichiga olgan ushbu nazariyalarda aytilgan "o'zaro ta'sir" atamasini hisobga olmaydi.

String nazariyasida vaziyat o'xshashligicha qolmoqda. Masalan, impuls fazosidagi to'lqin funksiyasi keskin aniqlanmagan impulsli zarrachaning (torning) umumiy holatida Furye kengayish koeffitsienti rolini o'ynaydi. [17]

Fazo-vaqt to'lqin funksiyalari[tahrir | manbasini tahrirlash]

Zarrachaning holati uning to'lqin funksiyasi

bilan to'liq tavsiflanadi, bu yerda x - koordinata va t - vaqt. Bu x va t ikkita haqiqiy o'zgaruvchilarning kompleks qiymatli funktsiyasidir.

Bir o'lchamli fazodagi yakka spinsiz zarracha uchun, agar to'lqin funksiyasi ehtimollik amplitudasi sifatida talqin qilinsa, to'lqin funksiyasining kvadrat moduli, ijobiy haqiqiy son bo'lib,

zarraning x da bo'lish ehtimoli zichligi sifatida talqin qilinadi. Yulduzcha murakkab konjugatni bildiradi. Agar zarrachaning joylashuvi aniqlansa, uning joylashishini to'lqin funktsiyasidan aniqlash mumkin emas, lekin ehtimollik taqsimoti bilan tavsiflanadi.

Normirovka sharti[tahrir | manbasini tahrirlash]

Uning x pozitsiyasining axb oralig'ida bo'lish ehtimoli bu oraliqdagi zichlikning integralidir:

bu erda t - zarracha o'lchangan vaqt. Bu normirovka shartiga olib keladi:
chunki agar zarracha o'lchansa, uning biror joyda bo'lish ehtimoli 100% ga teng.

Berilgan tizim uchun barcha mumkin bo'lgan normalizatsiya qilinadigan to'lqin funksiyalari to'plami (har qanday vaqtda) mavhum matematik vektor fazosini hosil qiladi, ya'ni turli xil to'lqin funktsiyalarini bir-biriga qo'shish va to'lqin funktsiyalarini kompleks raqamlarga ko'paytirish mumkin (qarang: vektor fazosiga qarang). tafsilotlar). Texnik jihatdan, normalizatsiya sharti tufayli, to'lqin funktsiyalari oddiy vektor fazodan ko'ra proyektiv fazoni hosil qiladi. Bu vektor fazosi cheksiz o'lchovli, chunki har qanday mumkin bo'lgan funksiyani yaratish uchun turli kombinatsiyalarda bir-biriga qo'shilishi mumkin bo'lgan chekli funktsiyalar to'plami yo'q. Bundan tashqari, bu Gilbert fazosidir, chunki ikkita to'lqin funktsiyalarining ichki mahsuloti r Ψ1 va r Ψ2 kompleks son (t vaqtida) sifatida aniqlanishi mumkin.

Ikki to'lqin funksiyasining ichki yig'indisi kompleks son bo'lsa-da, to'lqin funktsiyasining Ψ bilan ichki yig'indisi,
har doim ijobiy haqiqiy son.

Agar (Ψ, Ψ) = 1 bo'lsa, u holda Ψ. Agar Ψ bo'lsa, u holda uning normasiga bo'lish normalangan funksiyani beradi. Ikki toʻlqin funksiyasi r Ψ1 va r Ψ2 ortogonal boʻladi, agar 1, Ψ2) = 0 boʻlsa. Agar ular normallashtirilgan va ortogonal bo'lsa, ular ortonormaldir. To'lqin funktsiyalarining ortogonalligi (shuning uchun ham ortonormalligi) to'lqin funktsiyalari qondirishi kerak bo'lgan zaruriy shart emas, lekin ko'rib chiqish juda foydali, chunki bu funktsiyalarning chiziqli mustaqilligini kafolatlaydi. Ortogonal to'lqin funktsiyalarining chiziqli birikmasida Ψn bizda,

  1. Born 1927.
  2. 2,0 2,1 2,2 Born 1926a, translated in Wheeler & Zurek 1983 at pages 52–55.
  3. 3,0 3,1 Born 1926b, translated in Ludwig 1968, pp. 206–225. Also here.
  4. Born, M. (1954).
  5. Einstein 1905, pp. 132–148 (in German), Arons & Peppard 1965, s. 367 (in English)
  6. Einstein 1916, pp. 47–62, and a nearly identical version Einstein 1917, pp. 121–128 translated in ter Haar 1967, pp. 167–183.
  7. de Broglie 1923.
  8. Hanle 1977.
  9. Schrödinger 1926.
  10. Tipler, Mosca & Freeman 2008.
  11. Weinberg 2013.
  12. Young & Freedman 2008.
  13. 13,0 13,1 Atkins 1974.
  14. Martin & Shaw 2008.
  15. Pauli 1927.
  16. Weinberg (2002) takes the standpoint that quantum field theory appears the way it does because it is the only way to reconcile quantum mechanics with special relativity.
  17. Zwiebach 2009.