1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ning dastlabki 15 000 qismli yigʻindisi … Grafik oʻng tomonda musbat sonlar va chap tomonda manfiy butun sonlar bilan joylashgan.

Matematikada 1 – 2 + 3 – 4 + ··· cheksiz qator boʻlib, hadlari oʻzgaruvchan belgilar berilgan ketma-ket musbat sonlardir. Sigma yigʻindisi yozuvidan foydalanib, qatorning birinchi m hadlarining yigʻindisi quyidagicha ifodalanishi mumkin.

Cheksiz qator ajralib chiqadi, yaʼni uning qisman yigʻindilar ketma-ketligi (1, −1, 2, −2, 3, …) hech qanday chekli chegaraga moyil emas. Shunga qaramay, XVIII asrning oʻrtalarida Leonhard Euler oʻzi tan olgan paradoksal tenglamani yozdi. Leonhard Euler
Ushbu tenglamaning qatʼiy izohi koʻp vaqt oʻtmay keladi. 1890 yildan boshlab Ernesto Sezar, Emile Borel va boshqalar divergent qatorlarga umumlashtirilgan summalarni belgilashning aniq belgilangan usullarini, shu jumladan Eylerning urinishlarining yangi talqinlarini tadqiq qildilar. Ushbu yigʻindilash usullarining koʻpchiligi osongina 1 − 2 + 3 − 4 + …  1/4 „qiymati“ ga tayinlanadi. Sezar yigʻindisi 1 − 2 + 3 — 4 + … ni yigʻmaydigan bir necha usullardan biridir, shuning uchun seriya Abel yigʻindisi kabi biroz kuchliroq usul talab qilinadigan misoldir.

1 − 2 + 3 − 4 + … qatori Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + .1 − 1 + 1 − 1 + seriyasi bilan chambarchas bogʻliq. Eyler bu ikkalasini umumiy ketma-ketlikning maxsus holatlari sifatida koʻrib chiqdi. 1 — 2n + 3n — 4n + …, bu erda mos ravishda n = 1 va n = 0. Ushbu tadqiqot yoʻnalishi Bazel muammosi boʻyicha ishini kengaytirdi va hozir Dirichlet eta funktsiyasi va Riemann zeta funktsiyasi deb nomlanuvchi funktsional tenglamalarga olib keldi.


Divergentsiya[tahrir | manbasini tahrirlash]

Seriya hadlari (1, −2, 3, −4, …) 0 ga yaqinlashmaydi; shuning uchun 1 — 2 + 3 — 4 + … test atamasi boʻyicha farqlanadi. Divergensiyani bevosita taʼrifdan ham koʻrsatish mumkin: cheksiz qator, agar qisman yigʻindilar ketma-ketligi chegaraga yaqinlashsagina yaqinlashadi, bu holda bu chegara cheksiz qatorning qiymati hisoblanadi. 1 − 2 + 3 − 4 + … ning qisman yigʻindilari[1]:

1,

1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

Qisman yigʻindilar ketma-ketligi qatorning maʼlum bir raqamga yaqinlashmasligini koʻrsatadi: har qanday taklif qilingan x chegarasi uchun, keyingi qisman yigʻindilarning hammasi [x-1, x+1] oraligʻidan tashqarida boʻlgan nuqta mavjud), shuning uchun 1 — 2 + 3 — 4 + … farqlanadi.

Qisman summalar har bir butun sonni bir marta oʻz ichiga oladi, hatto boʻsh qisman yigʻindi hisoblansa ham 0 boʻlsa ham, toʻplamning hisoblanishini oʻrnatadi. butun sonlar[2].

Jamlash uchun evristika[tahrir | manbasini tahrirlash]

Barqarorlik va chiziqlilik[tahrir | manbasini tahrirlash]

1, −2, 3, −4, 5, −6, ... atamalar oddiy sxema boʻyicha kelganligi sababli, 1 − 2 + 3 − 4 + ... qatorlarini haddan tashqari oʻzgartirish va oʻzgartirish orqali boshqarish mumkin. raqamli qiymatni berish uchun qoʻshiladi. Agar baʼzi oddiy s soni uchun s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... yozish mantiqiy boʻlsa, quyidagi manipulyatsiyalar s = Andoza:Frac: uchun bahslashadi[3].

1 − 2 + 3 − 4 + ..., faqat siljishlar va muddatlar boʻyicha qoʻshishdan foydalangan holda, 1 ta hosil boʻladi. Chap va oʻng tomonlarning har biri 1 − 2 + 3 − 4 + ... 1 − 1 + 1 − 1 + .... ga qoʻshish. 1 − 2 + 3 − 4 + … ning 4 ta nusxasini qoʻshish, faqat siljishlar va muddatlar boʻyicha qoʻshishdan foydalangan holda, 1 ta hosil boʻladi. Chap va oʻng tomonlarning har biri 1 − 2 + 3 − 4 + ning ikkita nusxasini koʻrsatadi. .. 1 − 1 + 1 − 1 + … ga qoʻshish.

Shunday qilib .

1 − 2 + 3 − 4 + ... odatiy maʼnoda yigʻindiga ega boʻlmasa ham, tenglama s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = Andoza:Frac

1 − 2 + 3 − 4 + … odatiy maʼnoda yigʻindiga ega boʻlmasa ham, s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 tenglamani eng tabiiy javob sifatida qoʻllab-quvvatlash mumkin, agar shunday summa aniqlanishi kerak. Divergent qatorning „yigʻindisi“ning umumlashtirilgan taʼrifi yigʻish usuli yoki yigʻish usuli deb ataladi. Koʻp turli xil usullar mavjud va ular oddiy yigʻishning baʼzi xususiyatlarini baham koʻrishlari maʼqul. Yuqoridagi manipulyatsiyalar aslida quyidagilarni isbotlaydi: chiziqli va barqaror boʻlgan va 1 — 2 + 3 — 4 + … qatorlarini yigʻadigan har qanday yigʻish usulini hisobga olsak, u ishlab chiqaradigan yigʻindi  1⁄4 ga teng[4].

Bundan tashqari, beri

bunday usul Grandi qatorlarini ham 1 − 1 + 1 − 1 + ... = Andoza:Frac. sifatida jamlashi kerak.

bunday usul Grandi qatorlarini ham 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1⁄2 sifatida jamlashi kerak[5].

Cauchy mahsuloti[tahrir | manbasini tahrirlash]

1891 yilda Ernesto Sesaro divergent qatorlar hisob-kitoblarga qatʼiy kiritilishiga umid bildirdi va shunday taʼkidladi: „Bir kishi allaqachon yozgan (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... va ikkala tomon teng ekanligini taʼkidlaydi 14[6]. Sezar uchun bu tenglama u oʻtgan yili eʼlon qilgan teoremaning qoʻllanilishi edi, bu yigʻiladigan divergent qatorlar tarixidagi birinchi teoremadir[1]. Uning yigʻish usuli haqida batafsil maʼlumot quyida keltirilgan; markaziy fikr shundan iboratki, 1 − 2 + 3 − 4 + ... 1 − 1 + 1 − 1 + ... ning 1 − 1 + 1 − 1 + ... bilan Koshi mahsuloti (diskret konvolyutsiya) hisoblanadi. 1 − 1 + 1 − 1 + ... 1 − 1 + 1 − 1 + ... .

Ikki cheksiz qatorning Koshi mahsuloti, hatto ularning har ikkalasi bir-biridan farq qilganda ham aniqlanadi. a n = b n = (−1) n boʻlgan holatda, Koshi mahsulotining shartlari chekli diagonal yigʻindilar bilan beriladi.

Mahsulot seriyasi keyin
Shunday qilib, ikki qatorning Koshi mahsulotini hurmat qiladigan yigʻindi usuli — va 1 − 1 + 1 − 1 + ... qatorga 1/2 yigʻindini belgilaydi — 1 − 2 + 3 − 4 + ... summasi 1/4. Oldingi boʻlimning natijasi bilan, bu chiziqli, barqaror va Koshiga rioya qiladigan usullar bilan 1 − 1 + 1 − 1 + ... va 1 − 2 + 3 − 4 + ... yigʻindisi oʻrtasidagi ekvivalentlikni nazarda tutadi. mahsulot.

Sezar teoremasi nozik misoldir. 1 − 1 + 1 − 1 + ... qatori eng zaif maʼnoda Sezar yigʻiladigan, (C, 1)-summable, 1 − 2 + 3 − 4 + ... esa Sezar teoremasining kuchliroq shaklini talab qiladi[7]., boʻlish (C, 2)-summable. Sezar teoremasining barcha shakllari chiziqli va barqaror boʻlgani uchun yigʻindilarning qiymatlari yuqorida hisoblangandek boʻladi[8].

Maxsus usullar[tahrir | manbasini tahrirlash]

Sezar va Xölder[tahrir | manbasini tahrirlash]

14 ning (H, 2) yigʻindisi haqidagi maʼlumotlar

1 − 2 + 3 − 4 + … ning (C, 1) Sezar yigʻindisini topish uchun, agar u mavjud boʻlsa, qatorning qisman yigʻindilarining arifmetik vositalarini hisoblash kerak. Qisman summalar:.

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,


va bu qisman summalarning arifmetik vositalari:

1, 0, Andoza:Frac, 0, Andoza:Frac, 0, Andoza:Frac, ….

Ushbu vositalar ketma-ketligi yaqinlashmaydi, shuning uchun 1 − 2 + 3 − 4 + … Cesàro yigʻindisi emas.

Sezar yigʻindisining ikkita mashhur umumlashmasi mavjud: ulardan kontseptual jihatdan soddaroqsi n natural sonlar uchun (H, n) usullarning ketma-ketligidir. (H, 1) yigʻindisi Sezar yigʻindisidir va yuqoriroq usullar vositalarni hisoblashni takrorlaydi. Yuqorida juft maʼnolari yaqinlashadi12 boʻlsa, toq oʻrtachalarning barchasi 0 ga teng, shuning uchun vositalarning vositalari oʻrtacha 0 ga yaqinlashadi va12, yaʼni14 .[9] Demak, 1 − 2 + 3 − 4 + ... (H, 2) ga yigʻiladi14 .


„H“ harfi Otto Xolderni anglatadi, u birinchi marta 1882 yilda matematiklar Abel yigʻindisi va (H, n) yigʻindisi oʻrtasidagi bogʻliqlik deb oʻylashlarini isbotlagan; 1 − 2 + 3 − 4 + ... uning birinchi misoli edi[10]. Gap shundaki14 1 − 2 + 3 − 4 + ... ning (H, 2) yigʻindisi, uning ham Abel yigʻindisi ekanligini kafolatlaydi; Bu ham quyida toʻgʻridan-toʻgʻri isbotlanadi.

Sezar yigʻindisining yana bir keng tarqalgan umumlashmasi (C, n) usullarining ketma-ketligidir. (C, n) yigʻindisi va (H, n) yigʻindisi har doim bir xil natija berishi isbotlangan, lekin ularning tarixiy asoslari har xil. 1887 yilda Sesaro (C, n) yigʻindisining taʼrifini aytishga yaqin keldi, lekin u bir nechta misollar keltirdi. Xususan, u 1 − 2 + 3 − 4 + ..., to ni jamlagan14 (C, n) deb qayta ifodalanishi mumkin boʻlgan, ammo oʻsha paytda oqlanmagan usul bilan. U 1890 yilda (C, n) yigʻiladigan qator va (C, m) yigʻiladigan qatorlarning Koshi koʻpaytmasi (C, m + n +) ekanligi haqidagi teoremasini bayon qilish uchun (C, n) usullarini rasman belgilab berdi. 1) — yigʻiladigan[11].

Abel yigʻindisi[tahrir | manbasini tahrirlash]

1 − 2x + 3x2 + … ning baʼzi qismlari; 1/(1 + x)2; va chegaralar 1 ga teng


1749-yilgi hisobotda Leonhard Eyler seriyalar bir-biridan farq qilishini tan oladi, ammo baribir uni umumlashtirishga tayyor:

... when it is said that the sum of this series 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. is Andoza:Frac, that must appear paradoxical. For by adding 100 terms of this series, we get −50, however, the sum of 101 terms gives +51, which is quite different from Andoza:Frac and becomes still greater when one increases the number of terms. But I have already noticed at a previous time, that it is necessary to give to the word sum a more extended meaning …[12]


Eyler bir necha marta „sum“ soʻzini umumlashtirishni taklif qildi. 1 − 2 + 3 − 4 + ... boʻlsa, uning gʻoyalari hozirgi Abel yigʻindisi deb ataladigan narsaga oʻxshaydi:

... it is no more doubtful that the sum of this series 1 − 2 + 3 − 4 + 5 etc. is Andoza:Frac; since it arises from the expansion of the formula Andoza:Frac, whose value is incontestably Andoza:Frac. The idea becomes clearer by considering the general series 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. that arises while expanding the expression Andoza:Frac, which this series is indeed equal to after we set x = 1.[13]

Buni koʻrishning koʻplab usullari mavjud, hech boʻlmaganda mutlaq qiymatlar uchun Andoza:Abs < 1, Eyler bu borada haqliFailed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle 1-2x+3x²-4x³+\cdots = \frac{1}{(1+x)²}.} Oʻng tomonning Teylor kengaytmasini olish mumkin yoki koʻphadlar uchun rasmiy uzun boʻlinish jarayonini qoʻllash mumkin. Chap tomondan boshlab, yuqoridagi umumiy evristikaga amal qilib, (1 + x) ga ikki marta koʻpaytirishga yoki 1 − x + x2 − ... geometrik qatorni kvadratga olishga harakat qilish mumkin. 1 − x + x2 − ... 1 − x + x2 − ... . Eyler, shuningdek, oxirgi turkum atamalarini atama boʻyicha farqlashni taklif qilganga oʻxshaydi[14].

Zamonaviy koʻrinishda 1 — 2 x + 3 x 2 — 4 x 3 + … hosil qiluvchi funktsiya x = 1 da funktsiyani aniqlamaydi, shuning uchun qiymatni natijada olingan ifodaga oddiygina almashtirib boʻlmaydi. Funktsiya hamma uchun aniqlanganligi uchun |x| < 1, x 1 ga yaqinlashganda ham chegarani olish mumkin va bu Abel summasining taʼrifi:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/uz.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)²} = \frac14.}

Eyler va Borel[tahrir | manbasini tahrirlash]

Eyler yigʻindisi 1214 . Ijobiy qiymatlar oq rangda, salbiy qiymatlar jigarrang rangda, siljishlar va bekor qilishlar yashil rangda koʻrsatilgan.

Eyler seriyaga boshqa texnikani qoʻlladi: Eyler transformatsiyasi, oʻzining ixtirolaridan biri. Eyler konvertatsiyasini hisoblash uchun oʻzgaruvchan qatorni tashkil etuvchi musbat hadlar ketma-ketligidan boshlanadi — bu holda 1, 2, 3, 4, .... 1, 2, 3, 4, .... 1, 2, 3, 4, .... 1, 2, 3, 4, .... Ushbu ketma-ketlikning birinchi elementi 0 bilan belgilanadi.

Keyin 1, 2, 3, 4, ... orasidagi toʻgʻridan-toʻgʻri farqlar ketma-ketligi kerak; bu faqat 1, 1, 1, 1, .... 1, 1, 1, 1, .... 1, 1, 1, 1, .... 1, 1, 1, 1, .... Ushbu ketma-ketlikning birinchi elementi D a 0 bilan belgilanadi. Eyler konvertatsiyasi ham farqlar farqiga va yuqori iteratsiyalarga bogʻliq, ammo 1, 1, 1, 1, ... oʻrtasidagi barcha toʻgʻridan-toʻgʻri farqlar 0 ga teng. 1 − 2 + 3 − 4 + ... Eyler konvertatsiyasi quyidagicha aniqlanadi

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/uz.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta² a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.} Zamonaviy terminologiyada aytilishicha, 1 − 2 + 3 − 4 + ... Eylerning yigʻindisi hisoblanadi.14 .

Eyler yigʻindisi ham umumiy boʻlgani kabi bir xil yigʻindi qiymatiga ega Borel yigʻindisini ham nazarda tutadi[15].

Tarozilarni ajratish[tahrir | manbasini tahrirlash]

Saichev va Voychiński 1 − 2 + 3 − 4 + ... = Andoza:Frac da kelishadi.


Bu natija φ (x) = exp(− x) ga ruxsat berish orqali tiklanadigan Abel yigʻindisini umumlashtiradi. Umumiy fikr ketma-ketlikdagi hadlarni m dan ortiq juftlash va ifodani Riman integraliga aylantirish orqali isbotlanishi mumkin. Oxirgi bosqich uchun 1 − 1 + 1 − 1 + ... uchun mos keladigan dalil oʻrtacha qiymat teoremasini qoʻllaydi, ammo bu erda Teylor teoremasining kuchliroq Lagrange shakli kerak.

  • Agar φ (x) birinchi va ikkinchi hosilalari uzluksiz va (0, ∞) ustida integrallanadigan funksiya boʻlsa, ph(0) = 1 va ph(x) va x ph(x) ning +∞ da chegaralari boʻlsin. ikkalasi ham 0, keyin [16]

Bu natija Abel yigʻindisini umumlashtiradi, u ph(x) = exp(−x) ga ruxsat berish orqali tiklanadi. Umumiy fikrni qatordagi hadlarni m dan ortiq juftlash va ifodani Riman integraliga aylantirish orqali isbotlash mumkin. Oxirgi bosqich uchun 1 — 1 + 1 — 1 + uchun mos dalil. oʻrtacha qiymat teoremasini qoʻllaydi, lekin bu erda Teylor teoremasining kuchliroq Lagrange shakli kerak.

Umumlashtirish[tahrir | manbasini tahrirlash]

betdan parcha. E212 ning 233— Institutiones calculi differentialis cum eius us to analysis in the end of doctrina serierum . Eyler shunga oʻxshash qatorlarni jamlaydi, tax. 1755 .

1 − 1 + 1 − 1 + ... ning uch karrali Koshi koʻpaytmasi 1 − 3 + 6 − 10 + ..., uchburchak sonlarning oʻzgaruvchan qatori; uning Abel va Eyler yigʻindisi 18[17]. 1 − 1 + 1 − 1 + ... ning toʻrt karra Koshi koʻpaytmasi 1 − 4 + 10 − 20 + ..., tetraedral sonlarning oʻzgaruvchan qatori, Abel yigʻindisi 116.

1 — 2 + 3 — 4 + … biroz boshqacha yoʻnalishdagi yana bir umumlashma n ning boshqa qiymatlari uchun 1 − 2n + 3n − 4n + ... qatoridir. Musbat butun sonlar uchun n, bu qatorlar quyidagi Abel yigʻindilariga ega[18]:

Bu yerda Bn — Bernoulli raqamlari. Hatto n uchun bu ga kamayadi
Riemann zeta funksiyasining manfiy juft qiymatlari nolga teng deb talqin qilish mumkin. Bu summa 1826-yilda Niels Henrik Abel tomonidan alohida masxara ob’ektiga aylandi:

Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that

0 = 1 − 22n + 32n − 42n + etc.

where n is a positive number. Hereʼs something to laugh at, friends.[19]

Sezarning oʻqituvchisi Ejen Charlz Katalan ham bir-biridan farq qiluvchi seriyalarni yomon koʻrdi. Kataloniya taʼsiri ostida Sezar dastlab 1 − 2n + 3n − 4n + ... uchun „anʼanaviy formulalar“ ni „bemaʼni tenglik“ deb atagan va 1883 yilda Sezar formulalar notoʻgʻri ekanligi haqidagi odatiy fikrni bildirgan. lekin baribir qandaydir rasmiy ravishda foydali. Nihoyat, 1890-yilda "Sur la multiplication des séries" asarida Sesaro taʼriflardan boshlab zamonaviy yondashuvni qoʻlladi[20].

Seriya n ning butun boʻlmagan qiymatlari uchun ham oʻrganiladi; Bular Dirichlet eta funksiyasini tashkil qiladi. Eylerning 1 − 2 + 3 − 4 + ... bilan bogʻliq qatorlarni oʻrganish motivatsiyasining bir qismi eta funktsiyasining funktsional tenglamasi boʻlib, bu toʻgʻridan-toʻgʻri Riemann zeta funktsiyasining funktsional tenglamasiga olib keladi. Eyler allaqachon bu funksiyalarning qiymatlarini musbat juft sonlarda (jumladan , Bazel muammosi) topish bilan mashhur boʻlgan va u musbat toq sonlardagi qiymatlarni (jumladan , Aperi doimiysi) topishga harakat qilgan, bugungi kunda bu muammoni hal qilish qiyin. . Ayniqsa, eta funksiyasini Eyler usullari bilan hal qilish osonroq, chunki uning Dirichlet seriyasi hamma joyda Abel yigʻindisidir; zeta funktsiyasining Dirichlet qatorini uning ajralish joyini yigʻish ancha qiyin[21]. Masalan, zeta funksiyasidagi 1 − 2 + 3 − 4 + ... oʻxshashi oʻzgaruvchan boʻlmagan 1 + 2 + 3 + 4 + ... qator boʻlib, u zamonaviy fizikada chuqur ilovalarga ega, lekin ancha kuchliroq talablarni talab qiladi. jamlash usullari.

Yana qarang[tahrir | manbasini tahrirlash]

Manbalar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  1. 1,0 1,1 Hardy, p. 8
  2. Beals, p. 23
  3. Hardy (p. 6) presents this derivation in conjunction with evaluation of Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + ....
  4. Hardy, p. 6
  5. Hardy, p. 6
  6. Ferraro, p. 130.
  7. Hardy, p. 3; Weidlich, pp. 52—55.
  8. Alabdulmohsin 2018.
  9. Hardy, p. 9. For the full details of the calculation, see Weidlich, pp. 17—18.
  10. Ferraro, p. 118; Tucciarone, p. 10. Ferraro criticizes Tucciaroneʼs explanation (p. 7) of how Hölder himself thought of the general result, but the two authors' explanations of Hölder’s treatment of 1 − 2 + 3 − 4 + … are similar.
  11. Ferraro, pp. 123—128.
  12. Euler et al., p. 2. Although the paper was written in 1749, it was not published until 1768.
  13. Euler et al., pp. 3, 25.
  14. For example, Lavine (p. 23) advocates long division but does not carry it out; Vretblad (p. 231) calculates the Cauchy product. Euler’s advice is vague; see Euler et al., pp. 3, 26. John Baez even suggests a category-theoretic method involving multiply pointed sets and the quantum harmonic oscillator. Baez, John C. Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + … = −1/12 (PDF). (Wayback Machine saytida 2017-10-13 sanasida arxivlangan) math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007.
  15. Shawyer and Watson, p. 32
  16. Saichev and Woyczyński, pp. 260-264.
  17. Kline, p. 313.
  18. Hardy, p. 3; Knopp, p. 491
  19. Grattan-Guinness, p. 80. See Markushevich, p. 48, for a different translation from the original French; the tone remains the same.
  20. Ferraro, pp. 120-128.
  21. Euler et al., pp. 20-25.

Adabiyotlar[tahrir | manbasini tahrirlash]