Geometrik faza

Klassik va kvant mexanikasida, geometrik faza — bu Gamiltonianʼın parametr fazosining geometrik xususiyatlaridan kelib chiqadigan tsiklik adiabatik jarayonlarga duchor boʻlganda, tsikl davomida olingan fazalar farqi. Bu hodisa mustaqil ravishda S. Pancharatnam (1956), klassik optikada va H. C. Longuet-Xiggins (1958) molekulyar fizikada; Maykl Berri (1984) tomonidan umumlashtirilgan. U Pancharatnam-Berri fazasi, Pancharatnam fazasi yoki Berri fazasi sifatida ham tanilgan. Buni potensial energiya yuzalarining konus shaklida kesishishi va Aharonov-Bom effektida koʻrish mumkin . C₆H₃F₃ ⁺ molekulyar ionining tuproq elektron holatini oʻz ichiga olgan konussimon kesishish atrofidagi geometrik faza Bunker va Jensen darsligining 385-386-betlarida muhokama qilinadi. Aharonov-Bom effekti holatida, adiabatik parametr ikkita interferensiya yoʻllari bilan oʻralgan magnit maydon boʻlib, bu ikki yoʻl halqa hosil qiladi, degan maʼnoda siklikdir. Konusning kesishishida adiabatik parametrlar molekulyar koordinatalardir . Kvant mexanikasidan tashqari, u klassik optika kabi turli xil toʻlqin tizimlarida paydo boʻladi. Qoida tariqasida, u topologiyada qandaydir oʻziga xoslik yoki teshik yaqinida toʻlqinni tavsiflovchi kamida ikkita parametr mavjud boʻlganda paydo boʻlishi mumkin; ikkita parametr talab qilinadi, chunki yoki nosingular holatlar toʻplami oddiygina bogʻlanmaydi yoki nolga teng boʻlmagan holonomiya boʻladi.

Toʻlqinlar amplituda va faza bilan tavsiflanadi va bu parametrlarga qarab oʻzgarishi mumkin. Geometrik faza ikkala parametr bir vaqtning oʻzida, lekin juda sekin (adiabatik) oʻzgartirilganda va oxir-oqibat dastlabki konfiguratsiyaga qaytarilganda sodir boʻladi. Kvant mexanikasida bu aylanishlarni, balki oxirida bekor qilingan zarrachalarning tarjimalarini ham oʻz ichiga olishi mumkin. Tizimdagi toʻlqinlar amplitudalar va fazalar (va vaqt oʻtishini hisobga olgan holda) bilan tavsiflangan dastlabki holatga qaytishini kutish mumkin. Biroq, agar parametr ekskursiyalari oʻz-oʻzidan orqaga va orqaga oʻzgaruvchan oʻzgarish oʻrniga halqaga toʻgʻri keladigan boʻlsa, unda boshlangʻich va yakuniy holatlar oʻz fazalarida farq qilishi mumkin. Bu fazalar farqi geometrik faza boʻlib, uning paydo boʻlishi odatda tizimning parametrlarga bogʻliqligi baʼzi parametrlar kombinatsiyasi uchun yagona (uning holati aniqlanmagan) ekanligini koʻrsatadi.

Toʻlqin tizimidagi geometrik fazani oʻlchash uchun interferentsiya tajribasi talab qilinadi. Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan geometrik fazani tasvirlash uchun ishlatiladi. Geometrik fazaning bu mexanik analogi Hannay burchagi sifatida tanilgan.

Kvant mexanikasidagi berry fazasi

n -chi xos holatdagi kvant tizimida Gamiltonianning adiabatik evolyutsiyasi tizimning Gamiltonning n -chi xos holatida qolishini, shu bilan birga faza omilini olishini koʻradi. Olingan faza holatning vaqt evolyutsiyasidan, ikkinchisi esa xos holatning oʻzgaruvchan Gamiltonian bilan oʻzgarishidan hissa qoʻshadi. Ikkinchi atama Berri fazasiga toʻgʻri keladi va Gamiltonianning siklik boʻlmagan oʻzgarishlari uchun evolyutsiyaning har bir nuqtasida Gamiltonianning xos holatlari bilan bogʻliq boʻlgan fazani boshqacha tanlash orqali yoʻqolishi mumkin.

Biroq, agar oʻzgarish davriy boʻlsa, Berry bosqichini bekor qilish mumkin emas; u oʻzgarmasdir va tizimning kuzatiladigan xususiyatiga aylanadi. Maks Born va Vladimir Fok tomonidan Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928) da berilgan adiabatik teoremaning isbotini koʻrib chiqsak, biz adiabatik jarayonning faza hadiga butun oʻzgarishini tavsiflashimiz mumkin. Adiabatik yaqinlashishda adiabatik jarayon ostidagi n -chi xos holat koeffitsienti quyidagicha ifodalanadi:

$$C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$$

bu yerda $\gamma _{n}(t)$ t parametriga nisbatan Berri fazasidir. t oʻzgaruvchisini umumlashtirilgan parametrlarga oʻzgartirib, biz Berry fazasini qayta yozishimiz mumkin.

$$\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,$$

bu yerda $R$ siklik adiabatik jarayonni parametrlashtiradi. $|n,t\rangle$ ning normallashuviga eʼtibor bering, integralning xayoliy ekanligini bildiradi, shuning uchun $\gamma _{n}[C]$ haqiqiydir. U yopiq yoʻldan boradi $C$ tegishli parametr maydonida. Yopiq yoʻl boʻylab geometrik faza $C$ bilan oʻralgan sirt ustida Berri egriligini integrallash orqali ham hisoblash mumkin $C$ .

Geometrik fazalarga misollar

Fuko mayatnigi

Eng oson misollardan biri Fuko mayatnigidır . Geometrik fazalar boʻyicha oson tushuntirish Wilczek va Shaper tomonidan berilgan:

Mayatnik S umumiy yoʻl boʻylab olinganda qanday qilib oldinga oʻtadi? Ekvator boʻylab tashish uchun mayatnik oldinga oʻtmaydi. […] Endi agar C geodezik segmentlardan iborat boʻlsa, presessiya hammasi geodeziya segmentlari uchrashadigan burchaklardan kelib chiqadi; umumiy presessiya aniq tanqislik burchagiga teng boʻlib, u oʻz navbatida C moduli 2π bilan oʻralgan qattiq burchakka teng. Nihoyat, biz geodezik segmentlar ketma-ketligi boʻyicha har qanday halqani taxmin qilishimiz mumkin, shuning uchun eng umumiy natija (sfera yuzasida yoki undan tashqarida) aniq presessiya yopiq qattiq burchakka tengdir.

Turli soʻzlar bilan aytganda, mayatnikni oldinga siljitadigan hech qanday inertial kuchlar mavjud emas, shuning uchun pretsessiya (maatnik olib boriladigan yoʻlning harakat yoʻnalishiga nisbatan) butunlay bu yoʻlning burilishi bilan bogʻliq. Shunday qilib, mayatnik yoʻnalishi parallel transportdan oʻtadi. Dastlabki Fuko mayatnik uchun yoʻl kenglik doirasi va Gauss-Bonnet teoremasi boʻyicha faza siljishi yopiq qattiq burchak bilan berilgan.

Keltirib chiqarish

Sferada yopiq halqa atrofida vektorning parallel tashishi: uning burish burchagi, α, halqa ichidagi maydonga proportsionaldir.

Yer bilan tandemda harakatlanadigan, lekin Yerning oʻz oʻqi atrofida aylanishini taqsimlamaydigan inertsial ramkada mayatnikning osma nuqtasi bir yulduz kuni davomida aylana yoʻlini kuzatadi.

Parijning 48 gradus 51 minut shimoldagi kengligida toʻliq presessiya aylanishi 32 soatdan sal kam vaqtni oladi, shuning uchun bir yulduz kunidan soʻng, Yer bir yulduz kunidagidek orientatsiyaga qaytganida, tebranish tekisligi atigi ortga burildi. 270 darajadan yuqori. Agar burilish tekisligi boshida shimoldan janubga boʻlgan boʻlsa, bir kundan keyin u sharqdan gʻarbga yoʻnaltiriladi.

Bu ham impuls almashinuvi boʻlganligini anglatadi; Yer va mayatnik bob impulslarini almashgan. Yer mayatnik bobiga qaraganda shunchalik kattaroqki, Yer impulsining oʻzgarishi sezilmaydi. Shunga qaramay, mayatnik bobning tebranish tekisligi oʻzgarganligi sababli, saqlanish qonunlari almashinuv sodir boʻlishi kerakligini anglatadi.

Impulsning oʻzgarishini kuzatish oʻrniga, tebranish tekisligining presessiyasini parallel tashish holati sifatida samarali tasvirlash mumkin. Buning uchun cheksiz kichik aylanishlarni tuzish orqali shuni koʻrsatish mumkinki, pretsessiya tezligi Yerning burchak tezligining Yerga normal yoʻnalishi boʻyicha proyeksiyasiga proportsionaldir, bu esa tebranish tekisligining izi parallel tashishdan oʻtishini anglatadi. . 24 soatdan soʻng, Yer ramkasidagi izning boshlangʻich va oxirgi yoʻnalishlari oʻrtasidagi farq α = −2π sin φ ni tashkil qiladi, bu Gauss-Bonnet teoremasi tomonidan berilgan qiymatga mos keladi. α mayatnikning golonomiyasi yoki geometrik fazasi deb ham ataladi. Yerga ulangan harakatlarni tahlil qilganda, Yer ramkasi inertial ramka emas, balki mahalliy vertikal atrofida kuniga 2π sin φ radian samarali tezlikda aylanadi. Fuko mayatnikining burilish tekisligining burilish burchagini tasvirlash uchun Yer yuzasiga tegib turgan konuslar ichida parallel tashishdan foydalanadigan oddiy usuldan foydalanish mumkin .

Yer bilan bogʻlangan koordinatalar tizimi nuqtai nazaridan (oʻlchov doirasi va tomoshabin Yer bilan chegaralangan, shuningdek, agar u harakatlanayotganda Koriolis kuchiga yer reaktsiyasi tomoshabin tomonidan sezilmasa), x oʻqi sharqqa qaratilgan toʻrtburchaklar koordinata tizimidan foydalanish va uning y oʻqi shimolga qaratilgan boʻlsa, mayatnikning presessiyasi Koriolis kuchiga bogʻliq (boshqa xayoliy kuchlar tortishish va markazdan qochma kuchlar toʻgʻridan-toʻgʻri presessiya komponentiga ega emas, Eyler kuchi past, chunki Yerning aylanish tezligi deyarli doimiy). Kichik burchak yaqinlashuvida doimiy tabiiy chastotasi ω boʻlgan planar sarkacni koʻrib chiqing. Mayatnik bobida ikkita kuch taʼsir qiladi: tortishish va sim bilan taʼminlangan tiklovchi kuch va Koriolis kuchi (tortishish kuchini tiklovchi kuchga qarshi markazdan qochma kuchni eʼtiborsiz qoldirish mumkin). φ kenglikdagi Koriolis kuchi kichik burchak yaqinlashuvida gorizontal boʻlib, quyidagicha ifodalanadi:

$${\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}$$

Bu yerda Ω — Yerning aylanish chastotasi, F_c,x x — yoʻnalishdagi Koriolis kuchining komponenti va F_c,y — y — yoʻnalishdagi Koriolis kuchining komponenti.

Qayta tiklovchi kuch, kichik burchakli yaqinlashuvda va markazdan qochma kuchda quyidagicha ifodalanadi:

$${\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}$$

Yulduzli kun va kenglikdagi pretsessiya davri va pretsessiya grafiklari. Fuko mayatnikining janubiy yarimsharda soat miliga teskari, Shimoliy yarimsharda esa soat yoʻnalishi boʻyicha aylanishi natijasida belgi oʻzgaradi. Misol shuni koʻrsatadiki, Parijdagi bir yulduz har bir yulduz kunida 271 ° dan oʻtib, aylanish uchun 31,8 soat vaqt oladi.

Nyutonning harakat qonunlaridan foydalanib, bu tenglamalar sistemasiga olib keladi

$${\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}$$

Murakkab koordinatalarga oʻtish z = x + iy, tenglamalar oʻqiladi

$${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.$$

Birinchi buyurtma uchun

$$z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.$$

Agar vaqt kunlarda oʻlchanadigan boʻlsa, u holda Ω = 2π va mayatnik bir kun davomida −2π sin φ burchak bilan aylanadi.

Optik tolada qutblangan yorugʻlik

Ikkinchi misol — bitta rejimli optik tolaga kiruvchi chiziqli polarizatsiyalangan yorugʻlik. Faraz qilaylik, tola kosmosda qandaydir yoʻlni bosib oʻtadi va yorugʻlik tolaga kirgan yoʻnalishda chiqadi. Keyin dastlabki va yakuniy polarizatsiyalarni solishtiring. Yarim klassik yondashuvda tola toʻlqin oʻtkazgich vazifasini bajaradi va yorugʻlik momenti har doim tolaga tegib turadi. Polarizatsiyani impulsga perpendikulyar orientatsiya sifatida qarash mumkin. Elyaf oʻz yoʻlidan chiqib ketayotganda, yorugʻlikning impuls vektori impuls fazosida sferada yoʻlni izlaydi. Yoʻl yopiq, chunki yorugʻlikning boshlangʻich va oxirgi yoʻnalishlari mos keladi va qutblanish sferaga vektor tangensidir. Impuls fazosiga borish Gauss xaritasini olish bilan tengdir. Polarizatsiyani aylantira oladigan kuchlar yoʻq, faqat sferaga tegib qolish uchun cheklov. Shunday qilib, qutblanish parallel ravishda oʻtadi va faza siljishi yopiq qattiq burchak (yorugʻlik holatida spinning 1 marta) bilan beriladi.

Stokastik nasos effekti

Stokastik nasos klassik stokastik tizim boʻlib, parametrlarning davriy oʻzgarishiga oʻrtacha nolga teng boʻlmagan oqimlar bilan javob beradi. Stokastik nasos effekti stokastik oqimlarning moment hosil qiluvchi funksiyasi evolyutsiyasidagi geometrik faza nuqtai nazaridan talqin qilinishi mumkin.

Attraktorlarda aniqlangan geometrik faza

Berrining formulasi dastlab chiziqli Gamilton tizimlari uchun aniqlangan boʻlsa-da, tez orada Ning va Xaken shunga oʻxshash geometrik fazani maʼlum tsiklik attraktorlarga ega boʻlgan chiziqli boʻlmagan dissipativ tizimlar kabi mutlaqo boshqa tizimlar uchun belgilash mumkinligini anglab etdi. Ular bunday tsiklik attraktorlar maʼlum simmetriyalarga ega boʻlgan chiziqli boʻlmagan dissipativ tizimlar sinfida mavjudligini koʻrsatdilar. Berri fazasini bu umumlashtirishning bir qancha muhim jihatlari mavjud: 1) Berrining dastlabki fazasi uchun parametr fazosi oʻrniga bu Ning-Haken umumlashtirish faza fazosida aniqlanadi; 2) Kvant mexanik tizimidagi adiabatik evolyutsiya oʻrniga, fazalar fazosida tizimning evolyutsiyasi adiabatik boʻlmasligi kerak. Vaqtinchalik evolyutsiyaning vaqt miqyosida hech qanday cheklov yoʻq; 3) Germit tizimi yoki chiziqli dampingli germitiy boʻlmagan tizim oʻrniga tizimlar odatda chiziqli va germitiy boʻlmagan boʻlishi mumkin.

Molekulyar adiabatik potentsial sirt kesishmalarida taʼsir qilish

Born-Oppengeymer tizimida molekulalarda geometrik fazani hisoblashning bir necha usullari mavjud. Buning bir usuli „adiabatik boʻlmagan ulanish“ orqali amalga oshiriladi $M\times M$ matritsa" tomonidan aniqlanadi:

$$\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$$

bu yerda $\psi _{i}$ yadro parametrlariga bogʻliq holda adiabatik elektron toʻlqin funktsiyasidir $R_{\mu }$ . Noadiabatik bogʻlanish, M. tomonidan molekulyar asos uchun mustaqil ravishda ishlab chiqilgan, dala nazariyasidagi Uilson halqasiga (1974) oʻxshash halqa integralini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Baer (1975, 1980, 2000). Yopiq halqa berilgan $\Gamma$, tomonidan parametrlangan $R_{\mu }(t),$ qayerda $t\in [0,1]$ parametrdir va $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$ . D -matritsa tomonidan berilgan

$$D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$$

(Bu yerga ${\hat {P}}$ yoʻlni tartibga soluvchi belgi). Buni bir marta koʻrsatish mumkin $M$ etarlicha katta boʻlsa (yaʼni elektron holatlarning yetarli soni hisobga olinadi), bu matritsa diagonal boʻlib, diagonal elementlari teng. $e^{i\beta _{j}},$ qayerda $\beta _{j}$ uchun halqa bilan bogʻliq geometrik fazalardir $j$ — adiabatik elektron holat.

Vaqt teskari nosimmetrik elektron Gamiltonianlar uchun geometrik faza halqa bilan oʻralgan konusning kesishmalari sonini aks ettiradi. Aniqroq aytganda,

$$e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$$

bu yerda $N_{j}$ adiabatik holat ishtirok etgan konussimon kesishmalar soni $\psi _{j}$ halqa bilan oʻralgan $\Gamma .$

D -matritsali yondashuvga alternativa Pancharatnam fazasini toʻgʻridan-toʻgʻri hisoblash boʻladi. Bu, ayniqsa, agar kishi faqat adiabatik holatning geometrik fazalari bilan qiziqsa foydali boʻladi. Ushbu yondashuvda raqam olinadi $N+1$ ballar soni $(n=0,\dots ,N)$ halqa boʻylab $R(t_{n})$ bilan $t_{0}=0$ va $t_{N}=1,$ u holda faqat j — adiabatik holatlardan foydalaniladi $\psi _{j}[R(t_{n})]$ Pancharatnam koʻpaytmasini hisoblab chiqadi:

$$I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$$

Cheklovda $N\to \infty$ biri bor (tushuntirish va baʼzi ilovalar uchun Ryb & Baer 2004 ga qarang)

$$I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$$

Siklotron harakatining geometrik fazasi va kvantlanishi

Magnit maydonga duchor boʻlgan elektron $B$ aylana (siklotron) orbita boʻylab harakatlanadi. Klassik tarzda, har qanday siklotron radiusi $R_{c}$ qabul qilinadi. Kvant-mexanik jihatdan faqat diskret energiya darajalariga (Landau darajalari) ruxsat beriladi va shundan beri $R_{c}$ elektronning energiyasi bilan bogʻliq, bu ning kvantlangan qiymatlariga mos keladi $R_{c}$ . Shredinger tenglamasini yechish natijasida olingan energiyani kvantlash sharti, masalan: $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$$\alpha =1/2$ erkin elektronlar uchun (vakuumda) yoki ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ grafendagi elektronlar uchun, bu erda $n=0,1,2,\ldots$ . Ushbu natijalarni olish qiyin boʻlmasa-da, ularni olishning muqobil usuli mavjud boʻlib, u qaysidir maʼnoda Landau darajasidagi kvantlash haqida yaxshiroq jismoniy tushuncha beradi. Bu muqobil usul yarim klassik Bor-Sommerfeld kvantlash shartiga asoslanadi:

$$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$$

geometrik fazani oʻz ichiga oladi $\gamma$ siklotron orbitasining yopiq halqasi boʻylab oʻzining (haqiqiy fazoda) harakatini bajarayotganda elektron tomonidan olinadi. Erkin elektronlar uchun, $\gamma =0,$ esa $\gamma =\pi$ grafendagi elektronlar uchun. Maʼlum boʻlishicha, geometrik faza toʻgʻridan-toʻgʻri bogʻlangan $\alpha =1/2$ erkin elektronlar va $\alpha =0$ grafendagi elektronlar.

Adabiyotlar

• Jeeva Anandan; Joy Christian; Kazimir Wanelik (1997). "Resource Letter GPP-1: Geometric Phases in Physics". Am. J. Phys. 65 (3): 180. doi:10.1119/1.18570. 
• Cantoni, V.; Mistrangioli, L. (1992). "Three-point phase, symplectic measure, and Berry phase". International Journal of Theoretical Physics 31 (6): 937. doi:10.1007/BF00675086. https://archive.org/details/sim_international-journal-of-theoretical-physics_1992-06_31_6/page/937. 
• Richard Montgomery. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications. American Mathematical Soc., 8 August 2006 — 11– bet. ISBN 978-0-8218-4165-5.  (See chapter 13 for a mathematical treatment)
• Connections to other physical phenomena (such as the Jahn–Teller effect) are discussed here: Berry’s geometric phase: a review
• Paper by Prof. Galvez at Colgate University, describing Geometric Phase in Optics: Applications of Geometric Phase in Optics (Wayback Machine saytida 2007-08-24 sanasida arxivlangan)
• Surya Ganguli, Fibre Bundles and Gauge Theories in Classical Physics: A Unified Description of Falling Cats, Magnetic Monopoles and Berry’s Phase