Pi

Vikipediya, ochiq ensiklopediya

π („pi“, deb talaffuz qilinadi) soni — aylana uzunligining diametriga nisbati; irratsional son va transsendent (yaʼni butun koeffitsiyentli algebraik tenglama ildizi boʻlmagan) son.

Aylana uzunligi, doyra yuzi, aylanma jismlar hajmini hisoblashda qoʻllaniladi[1].

soni aylana uzunligining uning diametriga nisbati sifatida avvalo geometriyada paydo boʻlgan, biroq hozirda u matematikaning boshqa boʻlimlarida ham ishlatiladi. soni irratsional hamda transsendentdir.

Pi soni

Bu sonni grek xarfi bilan birinchi bol`ib ingliz matematigi Jonson belgilashni boshlagan (1706), Leonard Eylerning mehnatlaridan soʻng esa bunday belgilash mashhur boʻlib ketdi.

Bunday belgilash yunoncha  — periferiya soʻzining bosh harfidan olingan.

Soni[tahrir | manbasini tahrirlash]

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…[2]

Tarix[tahrir | manbasini tahrirlash]

"π" irratsional sonini na butun son, na arifmetik kasr sifatida aniq ifodalash mumkin emas. cheksiz va davriy bo'lmagan o'nli kasrlar bilan ifodalanadi. "π" soni aylana perimetrining uning diametriga nisbatidir. Qadimgi yunon matematigi Arximed π ning qiymatini uchta kasrgacha hisoblagan. Klavdiy Ptolemey π ning qiymatini to'rtinchi kasrgacha ko'rsatdi. O'sha davrda π ning qiymati ekvivalentlarda ifodalangan, shundan beri o'nli kasr yo'q edi. Keyingi 1500 yil davomida g'arbiy dunyoda π ning aniqroq qiymatini olishda muvaffaqiyatga erishilmadi. Biroq, ayni paytda qadimgi Xitoyda, aksincha, "π" sonining qiymatini hisoblash sohasida sezilarli yutuqlar mavjud edi. Qadimgi Xitoy matematiklari "π" sonining taxminiy qiymatini olish uchun barcha usullarni sinab ko'rdilar. Usullardan biri quyidagicha edi: aylana chizish, unga muntazam ko'pburchak yozish. Ko'pburchakning qanchalik ko'p tomonlari bo'lsa, ko'pburchakning maydoni va doira maydoni o'rtasidagi farq shunchalik kichik bo'ladi. Doira maydoni πr² formulasi bilan ifodalanadi, bu yerda "r" radiusini o'lchash orqali aniq hisoblash mumkin. Shunday qilib, ko'pburchakning maydoni aylananing maydoniga yaqinlashganda, π sonining taxminiy qiymati olinadi. Arximed aylana ichiga muntazam 96 burchakli burchakni yozdi, natijada shunday qiymat hosil bo'ldi: 3,140 <π< 3,142. Qadimgi xitoyliklarning hisoblash usuli Arximed usulidan farq qilmadi, lekin ular aniqroq qiymat oldilar. Vey va Jin sulolalarining o'zgarishi davrida yashagan Lyu Xuy xuddi shu usul bilan qiymatni hisoblab chiqdi. Lyu Xuy davrida odamlar aylana perimetrining uning diametriga nisbati 3:1 ga teng deb hisoblashgan, bu aylana ichiga chizilgan muntazam 6 burchakli perimetrning doira diametriga nisbatini bildiradi va π qiymati emas. 3:1 nisbatga asoslangan doiraning hisoblangan maydoni haqiqiy maydon emas. O'sha paytda odamlar doira maydoni "yarim perimetr x diametr" formulasi yordamida hisoblanishini allaqachon bilishgan. Diametri to'g'ri chiziqdir, nazariy jihatdan uning qiymati aniq o'lchov bilan hisoblanishi mumkin. Shunday qilib, aylananing maydonini hisoblash uchun aylananing maydonini bilish kerak. Biroq, doira egri chiziq bo'lib, uni to'g'ridan-to'g'ri o'lchash mumkin emas. Shuning uchun, odamlar aylana perimetrini o'lchash o'rniga, oddiy 6-burchakni aylana ichiga sig'dirish usulini o'ylab topishdi, ammo bu usul yechimda xatolikni keltirib chiqaradi. Egri chiziqni qanday qilib to'g'ri chiziqqa aylantirish mumkin? Shu munosabat bilan, Liu Xui ta'kidladi: ma'lum bir doira ichiga yozilgan muntazam ko'pburchakning tomonlari sonining cheksiz ko'payishi bilan uning tomonining uzunligi aylananing perimetriga intiladi. Shuning uchun aylana ichiga chizilgan muntazam ko'pburchak tomonlarining uzunligi aylananing perimetri o'rnini bosuvchi bo'lib xizmat qiladi. Liu Xuining usuli "aylanani bo'lish" deb ataladi. Liu Xui o'z fikrini hayotga olib keldi: u "π" qiymatini hisoblash jarayonida "aylana bo'linishi" usulidan foydalangan. 6 burchakdan boshlab, u ko'pburchakning tomonlarini qayta-qayta oshirdi, buning natijasida u 12-burchak, 24-burchak, 48-burchak, 96-burchak va hatto 192-burchak. Shunday qilib, u "π" 3,141024 qiymatini oldi. Hisoblash paytida u "3.14" qiymatini qo'lladi. Dalil topish uchun u ko'pburchakning tomonlarini 3072 ga oshirdi. Shubhasiz, aylanaga chizilgan 3072 burchakli burchakning maydoni aylananing haqiqiy maydoniga yaqinroq. Shunday qilib, Liu Xui "π" qiymatini 3,1416 aniqlik bilan oldi, bu yunonlar tomonidan olingan natijalardan ancha aniqroqdir. Liu Xuz tomonidan olingan "π" qiymati bir vaqtlar dunyodagi eng aniq bo'lgan. Ammo Lyu Xuining hissasi nafaqat bu edi. U "π" qiymatini hisoblashning ilmiy usulini yaratib, matematikaning rivojlanishiga hissa qo'shdi. Uning ishi tufayli "π" ning ma'nosini eng chuqur o'rganish uchun mustahkam nazariy asos yaratildi. Agar avlodlar uning usuli bo'yicha hisoblashda davom etsalar, ular aniqroq qiymatga ega bo'lishadi. Bundan tashqari, uning nazariyasida chiziqli va egri chiziqli transformatsiyalar haqida ko'proq tushunarli fikr mavjud. Chiziqli va egri chiziqli o'zgarishlar esa differentsial va integral hisoblash nazariyasining manbai hisoblanadi.

Tengliklar[tahrir | manbasini tahrirlash]

soni qatnashgan koʻpgina tengliklar mavjud, masalan:

Hisoblash usullari[tahrir | manbasini tahrirlash]

sonini matematik hisoblab chiqarishni Arximed birinchi boʻlib taklif qilgan, deb taxmin etiladi. Buning uchun u aylana va unga tashqi va ichki chizilgan muntazam ko`pburchaklardan foydalangan. Aylana diametrini bir, deb hisoblab, Arximed tashqi chizilgan koʻpburchak perimetrini sonining yuqori, ichki chizilgan koʻpburchak perimetrini esa quyi qiymati, deb koʻrar edi. Masalan, oltiburchak uchun (rasmga qarang) tengsizlik kelib chiqadi.

Arximed 96 burchakli muntazam koʻpburchak uchun tengsizlikni keltirib chiqardi.

Arab matematigi G`iyosiddin Jamshid ibn Maqsud al-Koshiy 1424 yilda yozib bitirgan „Aylana haqidagi traktat“ kitobida sonini 17 xona aniqlikda keltiradi.

Ludolf van Seylen (15361610) sonini 20 xona aniqlikda xisoblab chiqarish uchun oʻn yil sarfladi (1596 yilda chop etilgan „Aylana haqida“ („Van den Cirkel“) kitobida). Arximed usulini qoʻllab, u n burchakli koʻpburchak ishlatdi, bu yerda . Ludolf kitobini ushbu soʻzlar bilan yakunladi: „Kimning xohishi boʻlsa, davom ettiraversin“. Uning oʻlimidan soʻng qoʻlyozmalarida soning yana 15 raqami topildi. Ludolf qabrtoshiga shu sonlarni yozib qoʻyishni vasiyat qilgan. Baʼzan sonini „Ludolf soni“, deb ham atashadi.

Keyinchalik sonini hisoblash uchun analitik usullardan foydalanishga oʻtishdi.

Birinchi samarali formulani 1706 yilda Jon Mechin (John Machin) taklif qildi:

Arktangensni Teylor qatoriga yoyib, sonini katta aniqlikda topishga imkon eruvchi yaqinlashuvchi qatorga keltirish mumkin.

Ramanujan va Chudnovskiy algoritmlari esa yanada tezroq ishlaydi:

Transsendentlik va irratsionallik[tahrir | manbasini tahrirlash]

soning irratsionalligini birinchi boʻlib Iohann Lambert 1767 yilda sonini uzluksiz kasrga yoyib isbotlagan. 1794 yilda Lejandr va sonlarining irratsional ekanligiga yanada qatʼiy isbotlar keltirdi.

1882 yilda Kyonigberg, keyinchalik Myunhen universitetlari professori Ferdinand Lindeman sonining transsendentligini isbotladi.Feliks Kleyn v 1894da bu isbotni soddalashtirdi.

sonining transsendentligi aniqlangach, 2,5 ming yildan koʻp vaqt davom etib kelayotgan doira kvadraturasi masalasining Yevklid geometriyasida yechimi yoʻqligi koʻrinib, bu haqdagi bahslarga chek qoʻyildi.

Norasmiy bayramlar[tahrir | manbasini tahrirlash]

„Pi Kuni“ (ingl. Pi Day) 14-martda nishonlanadi, chunki bu kun Amerika sanalar formatida 3.14 shaklida yoziladi, bu esa Pi sonining taqribiy qiymatidir.

Piga bogʻliq yana bir norasmiy bayram — „Taqribiy Pi Kuni“ (ingl. Pi Approximation Day) 22-iyulda oʻtkaziladi, chunki bu kun Yevropa sanalar formatida 22/7 shaklida yoziladi, bu esa Pi soning kasr shaklidagi taqribiy qiymatidir.

Yana qarang[tahrir | manbasini tahrirlash]

Manbalar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  1. OʻzME. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil
  2. Arndt & Haenel 2006, s. 240.

Havolalar[tahrir | manbasini tahrirlash]