Normal rejim

Dinamik tizimning normal rejimi — bu tizimning barcha qismlari sinusoidal ravishda bir xil chastotada va qatʼiy faza munosabati bilan harakatlanadigan harakat namunasidir. Oddiy rejimlar tomonidan tasvirlangan erkin harakat belgilangan chastotalarda sodir boʻladi. Tizimning normal rejimlarining ushbu sobit chastotalari uning tabiiy chastotalari yoki rezonans chastotalari deb nomlanadi. Bino, koʻprik yoki molekula kabi jismoniy ob’ektning tuzilishi, materiallari va chegara sharoitlariga bogʻliq boʻlgan normal rejimlar va ularning tabiiy chastotalari toʻplami mavjud.

Chiziqli tizimning eng umumiy harakati uning normal rejimlarining superpozitsiyasidir . Rejimlar mustaqil harakatlana olishi maʼnosida normaldir, yaʼni bitta rejimning qoʻzgʻalishi hech qachon boshqa rejimning harakatiga sabab boʻlmaydi. Matematik nuqtai nazardan normal rejimlar bir-biriga ortogonaldir .

Butun tashqi qirrasi boʻylab mahkamlangan chegara sharti bilan aylana diskning bitta normal rejimining tebranishi. Boshqa rejimlarni koʻring .

Oddiy rejimlarda tebranayotgan bir chashka qora kofening fleshli surati

Leidenfrost effekti paytida bir tomchi suvda normal rejimlarning qoʻzgʻalishi

Umumiy taʼriflari

Rejim raqamlari

Fizika va texnikaning toʻlqin nazariyasida dinamik tizimdagi rejim qoʻzgʻalishning doimiy toʻlqin holati boʻlib, unda tizimning barcha tarkibiy qismlari ushbu rejim bilan bogʻliq boʻlgan qatʼiy chastotada sinusoidal tarzda taʼsir qiladi.

Hech qanday haqiqiy tizim doimiy toʻlqin doirasiga toʻliq mos kelmasligi sababli, rejim tushunchasi tebranishning oʻziga xos holatlarining umumiy tavsifi sifatida qabul qilinadi, shuning uchun dinamik tizimni chiziqli rejimda koʻrib chiqadi, bunda holatlarning chiziqli superpozitsiyasini amalga oshirish mumkin.

Klassik misollar orasida

• Mexanik dinamik tizimda tebranuvchi arqon rejimning eng yaqqol namunasi boʻlib, bunda arqon vosita, arqondagi kuchlanish qoʻzgʻalish, arqonning statik holatiga nisbatan siljishi modaldir. oʻzgaruvchan.
• Akustik dinamik tizimda bitta tovush balandligi rejim boʻlib, unda havo vosita, havodagi tovush bosimi qoʻzgʻalish va havo molekulalarining siljishi modal oʻzgaruvchan hisoblanadi.
• Strukturaviy dinamik tizimda oʻzining eng egilish oʻqi ostida tebranadigan baland baland bino rejim boʻlib, unda binoning barcha materiallari — tegishli sonli soddalashtirishlar ostida — vosita, seysmik/shamol/ekologik talablar qoʻzgʻalish va siljishlar modal oʻzgaruvchidir.
• Elektr dinamik tizimda boʻshliqni oʻrab turgan ingichka metall devorlardan yasalgan rezonansli boʻshliq, zarracha tezlatgichi uchun sof turgan toʻlqin tizimi va shuning uchun boʻshliqning ichi boʻsh joyi muhit boʻlgan rejimga misol boʻladi., RF manbai (Klystron yoki boshqa RF manbai) qoʻzgʻalish va elektromagnit maydon modal oʻzgaruvchidir.
• Musiqa bilan bogʻliq holda, tebranish asboblarining oddiy rejimlari (torlar, havo quvurlari, barabanlar va boshqalar) " overtones " deb ataladi.

Oddiy rejimlar kontsepsiyasi optika, kvant mexanikasi, atmosfera dinamikasi va molekulyar dinamika kabi boshqa dinamik tizimlarda ham qoʻllaniladi.

Koʻpgina dinamik tizimlar bir vaqtning oʻzida bir nechta rejimlarda qoʻzgʻatilishi mumkin. Har bir rejim bir yoki bir nechta chastotalar bilan tavsiflanadi, modal oʻzgaruvchi maydoniga koʻra. Masalan, 2D kosmosdagi tebranish arqon bir chastotali (1D eksenel siljish) bilan belgilanadi, lekin 3D kosmosdagi tebranish arqon ikkita chastota bilan aniqlanadi (2D eksenel siljish).

Modal oʻzgaruvchining maʼlum amplitudasi uchun har bir rejim sinusoidal qoʻzgʻalish tufayli maʼlum miqdordagi energiyani saqlaydi.

Koʻp rejimli tizimning normal yoki dominant rejimi modal oʻzgaruvchining maʼlum amplitudasi uchun minimal energiya miqdorini saqlaydigan rejim boʻladi yoki shunga oʻxshash tarzda, saqlangan energiya miqdori uchun dominant rejim yuklovchi rejim boʻladi. modal oʻzgaruvchining maksimal amplitudasi.

Rejimi

Tebranish rejimi modal chastota va rejim shakli bilan tavsiflanadi. U tebranishdagi yarim toʻlqinlar soniga qarab raqamlangan. Misol uchun, agar ikkala uchi mahkamlangan tebranish nuri sinus toʻlqinning yarmining rejim shaklini koʻrsatsa (tebranish nurida bir tepalik), u 1-rejimda tebranadi. Agar u toʻliq sinus toʻlqinga ega boʻlsa (bir choʻqqi va bitta chuqurlik) u 2-rejimda tebranadi.

Ikki yoki undan ortiq oʻlchamli tizimda, masalan, tasvirlangan diskda, har bir oʻlchamga rejim raqami beriladi. Polar koordinatalardan foydalanib, biz radial koordinata va burchak koordinatasiga egamiz. Agar markazdan tashqariga radial koordinata boʻylab oʻlchangan boʻlsa, u toʻliq toʻlqinga duch keladi, shuning uchun radial yoʻnalishdagi tartib raqami 2 ga teng. Boshqa yoʻnalish murakkabroq, chunki diskning burchak yoʻnalishidagi tebranishining anti-simmetrik (skew-simmetriya deb ham ataladi) xususiyati tufayli diskning faqat yarmi hisobga olinadi. Shunday qilib, burchak yoʻnalishi boʻylab 180° oʻlchaganingizda, siz yarim toʻlqinga duch kelasiz, shuning uchun burchak yoʻnalishidagi tartib raqami 1 ga teng. Shunday qilib, tizimning rejim raqami 2-1 yoki 1-2 ni tashkil qiladi, bu qaysi koordinata „birinchi“ va qaysi biri „ikkinchi“ koordinata deb hisoblanishiga qarab (shuning uchun har doim qaysi rejim raqami har bir koordinataga mos kelishini koʻrsatish muhimdir. yoʻnalishi).

Chiziqli tizimlarda har bir rejim boshqa barcha rejimlardan butunlay mustaqildir. Umuman olganda, barcha rejimlar turli xil chastotalarga ega (pastki rejimlar past chastotalarga ega) va turli rejim shakllari.

Tugunlari

Bir oʻlchovli tizimda maʼlum rejimda tebranish tugunlari yoki joy almashish har doim nolga teng boʻlgan joylarga ega boʻladi. Ushbu tugunlar rejim shakli nolga teng boʻlgan rejim shaklidagi nuqtalarga mos keladi. Tizimning tebranishi rejim shaklining vaqt funksiyasiga koʻpaytirilishi bilan berilganligi sababli, tugun nuqtalarining siljishi har doim nolga teng boʻlib qoladi.

Ikki oʻlchovli tizimga kengaytirilganda, bu tugunlar siljish har doim nolga teng boʻlgan chiziqlarga aylanadi. Agar siz yuqoridagi animatsiyani tomosha qilsangiz, siz ikkita doirani (biri chet va markazning yarmida, ikkinchisi esa chetida) va diskni ikkiga boʻluvchi toʻgʻri chiziqni koʻrasiz, bu erda siljish nolga yaqin. Ideallashtirilgan tizimda bu chiziqlar oʻng tomonda koʻrsatilganidek, nolga teng.

Mexanik tizimlarda

Birlashtirilgan osilatorlar

Ikki teng jismni (tortishish kuchi taʼsirida boʻlmagan) koʻrib chiqaylik, har birining massasi m, uchta buloqqa bogʻlangan, har biri bahor doimiysi k . Ular jismoniy nosimmetrik tizimni tashkil etuvchi quyidagi tarzda biriktiriladi:

chekka nuqtalar sobit boʻlib, harakatlana olmaydi. Chap massaning gorizontal siljishini belgilash uchun x₁(t) va oʻng massaning siljishini belgilash uchun x₂(t) dan foydalanamiz.

Agar kimdir tezlanishni bildirsa(ning ikkinchi hosilasi x(t) vaqtga nisbatan) $\scriptstyle {\ddot {x}}$ kabi, harakat tenglamalari:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

Oddiy rejimning tebranish harakatini kutganimiz uchun (bu yerda ω ikkala massa uchun bir xil), biz buni olishga harakat qilamiz:

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Bularni harakat tenglamalariga almashtirish bizga quyidagilarni beradi:

${\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Eksponensial omil barcha atamalar uchun umumiy boʻlganligi sababli, biz uni oʻtkazib yuboramiz va soddalashtiramiz:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

Va matritsa koʻrinishida:

${\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$

Agar chapdagi matritsa teskari boʻlsa, yagona yechim trivial yechimdir (A₁ , A₂) = (x₁ , x₂) = (0,0). Chapdagi matritsa singular, yaʼni teskari boʻlmagan ω ning qiymatlari uchun trivial boʻlmagan yechimlarni topish kerak. Bundan kelib chiqadiki, matritsaning determinanti 0 ga teng boʻlishi kerak, shuning uchun:

$(\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

uchun hal qilish $\omega$, bizda ikkita ijobiy yechim bor:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

Agar matritsaga ω₁ni qoʻysak va (A₁ , A₂), biz (1)ni olamiz. Agar ω₂ni almashtirsak, biz (1, −1). (Bu vektorlar xos vektorlar, chastotalar esa xos qiymatlardir)

Birinchi oddiy rejim:

${\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$

Bu ikkala massaning bir vaqtning oʻzida bir yoʻnalishda harakatlanishiga mos keladi. Ushbu rejim antisimmetrik deb ataladi.

Ikkinchi normal rejim:

${\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$

Bu qarama-qarshi yoʻnalishda harakatlanadigan massalarga mos keladi, massa markazi esa harakatsiz qoladi. Ushbu rejim simmetrik deb ataladi.

Umumiy yechim oddiy rejimlarning superpozitsiyasi boʻlib, bunda c₁, c₂, φ₁ va φ₂, masalaning boshlangʻich shartlari bilan aniqlanadi.

Bu yerda koʻrsatilgan jarayonni umumlashtirish va Lagranj mexanikasi yoki Gamilton mexanikasi formalizmi yordamida shakllantirish mumkin.

Doimiy toʻlqinlar

Turuvchi toʻlqin oddiy rejimning uzluksiz shaklidir. Turgʻun toʻlqinda barcha fazo elementlari, yaʼni (x , y , z) koordinatalar bir xil chastotada va fazada (muvozanat nuqtasiga birga yetib boradi) tebranadi, lekin har biri har xil amplitudaga ega.

Turgʻun toʻlqinning umumiy shakli:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$

bu yerda ƒ(x , y , z) amplitudaning joylashuvga bogʻliqligini, kosinus sinus esa vaqtdagi tebranishlarni ifodalaydi.

Jismoniy jihatdan turgan toʻlqinlar toʻlqinlarning interferensiyasi (superpozitsiyasi) va ularning aks etishi natijasida hosil boʻladi (garchi buning aksini ham aytish mumkin; harakatlanuvchi toʻlqin turuvchi toʻlqinlarning superpozitsiyasidir). Muhitning geometrik shakli interferentsiya naqshini aniqlaydi, shuning uchun ƒ (x, y , z) turgan toʻlqinning shakli. Bu fazoga bogʻliqlik normal rejim deb ataladi.

Odatda, (x ga doimiy bogʻliqlik bilan bogʻliq muammolar uchun, y , z) oddiy rejimlarning bitta yoki chekli soni mavjud emas, lekin cheksiz koʻp normal rejimlar mavjud. Agar muammo chegaralangan boʻlsa (yaʼni, u fazoning cheklangan qismida aniqlangan boʻlsa), hisoblash mumkin boʻlgan juda koʻp oddiy rejimlar mavjud (odatda n = 1 raqamlangan, 2, 3, . . .). Muammo chegaralanmagan boʻlsa, oddiy rejimlarning doimiy spektri mavjud.

Seysmologiyada

Oddiy rejimlar Yerda uzoq toʻlqin uzunlikdagi seysmik toʻlqinlardan katta zilzilalar natijasida hosil boʻlib, doimiy toʻlqinlarni hosil qiladi.

Elastik, izotropik, bir hil sfera uchun sferoid, toroidal va radial (yoki nafas olish) rejimlari paydo boʻladi. Sferoid rejimlar faqat P va SV toʻlqinlarini oʻz ichiga oladi (Rayleigh toʻlqinlari kabi) va n ohang soniga va l burchak tartibiga bogʻliq, lekin azimutal tartib m degeneratsiyasiga ega. l ortib borishi asosiy novdani yuzaga yaqinroq konsentratsiya qiladi va katta l bu Reyleigh toʻlqinlariga moyil boʻladi. Toroidal rejimlar faqat SH toʻlqinlarini oʻz ichiga oladi (sevgi toʻlqinlari kabi) va suyuqlikning tashqi yadrosida mavjud emas. Radial rejimlar l=0 boʻlgan sferoid rejimlarning faqat kichik toʻplamidir. Degeneratsiya Yerda mavjud emas, chunki u aylanish, elliptiklik va 3D heterojen tezlik va zichlik tuzilishi bilan buziladi.

Har bir rejim alohida boʻlishi mumkin, oʻz-oʻzidan ulanishi yaqinlashishi yoki koʻplab rejimlar chastotada aks sado beradi, oʻzaro bogʻliqlik yaqinlashishi mumkin. Oʻz-oʻzidan ulanish katta doira atrofidagi toʻlqinlar sonini emas, balki faqat faza tezligini oʻzgartiradi, bu esa tik turgan toʻlqin naqshining choʻzilishi yoki qisqarishiga olib keladi. Modal oʻzaro bogʻlanish Yerning aylanishi tufayli, asferik elastik tuzilishdan yoki Yerning elliptikligi tufayli yuzaga keladi va asosiy sferoid va toroidal rejimlarning aralashishiga olib keladi.

Manbalar

• Blevins, Robert D.. Formulas for natural frequency and mode shape, Reprint, Malabar, Florida: Krieger Pub., 2001. ISBN 978-1575241845. 
• Dynamics and Control of Distributed Systems.. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0521033749. 
• Shearer, Peter M.. Introduction to seismology, 2nd, Cambridge: Cambridge University Press, 2009 — 231–237 bet. ISBN 9780521882101.