Harakat tenglamalari

$v$ va boshqalar $t$ bir xil boʻlmagan tezlanish ostida harakatlanuvchi zarrachaning grafigi $a$ .

Fizikada harakat tenglamalari fizik tizimning harakatini vaqt funktsiyasi sifatida tavsiflovchi tenglamalardir. Aniqroq aytganda, harakat tenglamalari fizik tizimning harakatini dinamik oʻzgaruvchilar nuqtai nazaridan matematik funktsiyalar toʻplami sifatida tavsiflaydi. Bu oʻzgaruvchilar odatda fazoviy koordinatalar va vaqtdir, lekin impuls komponentlarini oʻz ichiga olishi mumkin. Eng umumiy tanlov jismoniy tizimga xos boʻlgan har qanday qulay oʻzgaruvchilar boʻlishi mumkin boʻlgan umumlashtirilgan koordinatalardir. Funktsiyalar klassik mexanikada Evklid fazosida aniqlanadi, lekin nisbiylik nazariyasida egri boʻshliqlar bilan almashtiriladi. Agar tizimning dinamikasi maʼlum boʻlsa, tenglamalar dinamikaning harakatini tavsiflovchi differensial tenglamalar uchun yechimlardir.

Turlari

Harakatning ikkita asosiy tavsifi mavjud: dinamika va kinematika . Dinamik umumiydir, chunki zarrachalarning momentlari, kuchlari va energiyasi hisobga olinadi. Bunday holda, baʼzida dinamika atamasi tizim qanoatlantiradigan differensial tenglamalarni (masalan, Nyutonning ikkinchi qonuni yoki Eyler-Lagranj tenglamalari), baʼzan esa bu tenglamalarning echimlarini anglatadi.

Biroq, kinematika oddiyroq. Bu faqat ob’ektlar va vaqtning pozitsiyalaridan olingan oʻzgaruvchilarga tegishli. Doimiy tezlanish sharoitida bu oddiyroq harakat tenglamalari odatda kinematik miqdorlarning taʼriflaridan kelib chiqadigan SUVAT tenglamalari deb ataladi: siljish (s), boshlangʻich tezlik (u), yakuniy tezlik (v), tezlanish (a), va vaqt (t).

Harakatning differensial tenglamasi, odatda, baʼzi bir fizik qonun sifatida aniqlanadi va fizik miqdorlarning taʼriflarini qoʻllaydi, muammo uchun tenglamani oʻrnatish uchun ishlatiladi.  Differensial tenglamani yechish ixtiyoriy konstantalar bilan umumiy yechimga olib keladi, yechimlar oilasiga mos keladigan oʻzboshimchalik. Muayyan yechimni dastlabki qiymatlarni oʻrnatish orqali olish mumkin, bu esa doimiy qiymatlarni belgilaydi.

Buni rasman aytish uchun, umuman olganda M harakat tenglamasi jismning r holatiga, uning tezligiga (r ning birinchi marta hosilasi, v = dr/dt funktsiyadir .

$M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,,$

Bu yerda t — vaqt va har bir ortiqcha nuqta bir vaqtning hosilasini bildiradi. Dastlabki shartlar t = 0 da doimiy qiymatlar bilan berilgan,

$\mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.$

Harakat tenglamasining r(t) yechimi, belgilangan boshlangʻich qiymatlari bilan, t = 0 dan keyingi barcha t vaqtlari uchun tizimni tavsiflaydi. Boshqa dinamik oʻzgaruvchilar, masalan, jismning impulsi p yoki burchak momenti kabi r va p dan olingan miqdorlar, r oʻrniga r oʻrniga, baʼzi bir harakat tenglamalaridan hal qilish uchun miqdor sifatida ishlatilishi mumkin, garchi ob’ektning t vaqtidagi pozitsiyasi hozirgacha eng koʻp terilgan miqdordir.

Baʼzan, tenglama chiziqli boʻladi va aniq echilishi ehtimoli koʻproq. Umuman olganda, tenglama chiziqli boʻlmagan boʻladi va uni aniq echib boʻlmaydi, shuning uchun turli xil yaqinlashishlardan foydalanish kerak. Chiziqli boʻlmagan tenglamalar yechimlari tizimning boshlangʻich sharoitlarga qanchalik sezgir boʻlishiga qarab xaotik xatti-harakatlarni koʻrsatishi mumkin.

Tarixi

Koinotning kinematikasi, dinamikasi va matematik modellari koʻplab mutafakkirlar tufayli uch ming yil davomida bosqichma-bosqich rivojlandi, ularning faqat baʼzilari bizga maʼlum. Antik davrda ruhoniylar, munajjimlar va astronomlar Quyosh va Oy tutilishini, Quyoshning toʻntarishlari va tengkunliklarini va Oy davrini bashorat qilishgan. Ammo ularni boshqaradigan algoritmlar toʻplamidan boshqa hech narsa yoʻq edi. Harakat tenglamalari yana ming yil davomida yozilmagan.

XIII asrda oʻrta asr olimlari — masalan, Oksford va Parijdagi nisbatan yangi universitetlarda — qadimgi matematiklar (Evklid va Arximed) va faylasuflardan (Aristotel) hozirgi kunda fizika deb ataladigan yangi bilimlar majmuasini ishlab chiqish uchun foydalandilar.

Oksfordda Merton kolleji tabiatshunoslikka, asosan fizika, astronomiya va matematikaga bagʻishlangan, Parij universiteti ziyolilari bilan oʻxshash boʻlgan bir guruh olimlarni boshpana qildi. Tomas Bredvardin masofa va tezlik kabi Aristotel miqdorlarini kengaytirdi va ularga intensivlik va kengayishni tayinladi. Bredvardin kuch, qarshilik, masofa, tezlik va vaqtni oʻz ichiga olgan eksponensial qonunni taklif qildi. Nikolas Oresme Bredvardinning dalillarini yanada kengaytirdi. Merton maktabi bir tekis tezlashtirilgan harakatni boshdan kechirayotgan jismning harakat miqdori tezlashtirilgan harakatning yarmida erishilgan tezlikda bir tekis harakat miqdoriga teng ekanligini isbotladi.

„Inertiya“ atamasi Kepler tomonidan qoʻllanilgan va uni tinch holatda boʻlgan jismlarga qoʻllagan. (Harakatning birinchi qonuni endi koʻpincha inersiya qonuni deb ataladi)

Galiley harakatning uchinchi qonunini, harakat va reaksiya tengligi qonunini toʻliq anglab yetmagan boʻlsa-da, Aristotelning baʼzi xatolarini tuzatgan. Stevin va boshqalar bilan Galiley ham statika haqida yozgan. U kuchlar parallelogrammasi printsipini ishlab chiqdi, ammo uning doirasini toʻliq tan olmadi.

Galiley mayatnik qonunlari bilan ham qiziqdi, uning birinchi kuzatishlari yoshligida edi. 1583 yilda u Pizadagi soborda namoz oʻqiyotganda, uning diqqatini vaqtni saqlash uchun oʻz pulslariga ishora qilib, yonib turgan katta chiroqning harakatiga qaratdi. Uning nazarida bu davr harakat sezilarli darajada kamayganidan keyin ham mayatnikning izoxronizmini kashf qilgandan keyin ham xuddi shunday koʻrindi.

Bitta zarracha uchun kinematik tenglamalar

Kinematik kattaliklar

Klassik m massali zarrachaning kinematik miqdorlari: pozitsiyasi r, tezlik v, tezlanish a .

Bir lahzali pozitsiyadan r = r(t), vaqtning lahzali qiymatida lahzalik maʼnosi t, lahzali tezlik v = v(t) va tezlanish a = a(t) umumiy, koordinatadan mustaqil taʼriflarga ega:

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

Eʼtibor bering, tezlik har doim harakat yoʻnalishiga ishora qiladi, boshqacha qilib aytganda, egri yoʻl uchun u tangens vektoridir . Oddiy qilib aytganda, birinchi tartibli hosilalar egri tangenslar bilan bogʻliq. Hali ham kavisli yoʻllar uchun tezlanish yoʻlning egrilik markaziga yoʻnaltiriladi. Yana, ochiq aytganda, ikkinchi tartibli hosilalar egrilik bilan bogʻliq.

Aylanish analoglari „burchak vektori“ (zarrachaning maʼlum bir oʻq atrofida aylanadigan burchagi) θ = θ(t), burchak tezligi ω = ω(t) va burchak tezlanishi α = α(t) :

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,$$

bu yerda n̂ aylanish oʻqi yoʻnalishidagi birlik vektor, θ — ob’ektning oʻq atrofida aylantiradigan burchagi.

Burchak tezligi ω boʻlgan qaysidir oʻq atrofida aylanayotgan nuqtaga oʻxshash zarracha uchun quyidagi munosabat amal qiladi:

$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Bu yerda r — zarrachaning pozitsiya vektori (aylanish oʻqidan radial) va v zarrachaning tangensial tezligi. Aylanadigan doimiy qattiq jism uchun bu munosabatlar qattiq jismning har bir nuqtasi uchun amal qiladi.

Yagona tezlanish

Toʻgʻri chiziqdagi doimiy yoki bir xil tezlanishli zarracha uchun harakatning differensial tenglamasi oddiy: tezlanish doimiy, shuning uchun ob’ekt pozitsiyasining ikkinchi hosilasi doimiydir. Ushbu ishning natijalari quyida umumlashtiriladi.

Toʻgʻri chiziqda doimiy translatsiya tezlanishi

Bu tenglamalar chiziqli, uch oʻlchamda doimiy tezlanish bilan tekis chiziqda harakatlanadigan zarraga nisbatan qoʻllaniladi. Pozitsiya, tezlik va tezlanish kollinear (parallel va bir xil chiziqda yotadi) boʻlgani uchun — faqat bu vektorlarning kattaliklari zarur va harakat toʻgʻri chiziq boʻylab boʻlgani uchun muammo samarali ravishda uch oʻlchovdan bittaga kamayadi.

$${\begin{aligned}v&=at+v_{0}&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$$

bu yerda:

• r₀ is the particleʼs initial position
• r is the particleʼs final position
• v₀ is the particleʼs initial velocity
• v is the particleʼs final velocity
• a is the particleʼs acceleration
• t is the time intervalderivation

  Derivation

[1] va [2] tenglamalar tezlik va tezlanish taʼriflarini birlashtirishdan olingan., dastlabki shartlarga muvofiq r(t₀) = r₀ and v(t₀) = v₀;

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,,&[2]\\\end{aligned}}$$

kattalikda,

$${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,.&[2]\\\end{aligned}}$$

[3] tenglama o'rtacha tezlikni o'z ichiga oladi v + v₀/2. Intuitiv ravishda tezlik chiziqli ravishda oshadi, shuning uchun o'rtacha tezlik vaqtga ko'paytiriladi, bu tezlikni oshirish paytida bosib o'tgan masofadir v₀ to v, to'g'ri chiziqli grafik sifatida vaqtga nisbatan tezlikni grafik tarzda tasvirlash mumkin. Algebraik jihatdan [1] uchun yechishdan kelib chiqadi

$$\mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}$$

va [2] ichiga almashtirish

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,,$$

keyin quyidagini olish uchun soddalashtiramiz

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})$$

yoki bu kattalikda

$$r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]$$

[3] dan,

$$t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)$$

t ni [1] ga qo‘yamiz:

$${\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}$$

[3] dan,

$$2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t$$

[2] ga joylaymiz:

$${\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}$$

Odatda faqat birinchi 4 ta kerak, beshinchisi ixtiyoriy.

Bu yerda a — doimiy tezlanish yoki tortishish kuchi taʼsirida harakatlanadigan jismlar holatida g standart tortishish kuchi qoʻllaniladi. Eʼtibor bering, har bir tenglama beshta oʻzgaruvchidan toʻrttasini oʻz ichiga oladi, shuning uchun bu holatda qolgan ikkitasini hisoblash uchun beshta oʻzgaruvchidan uchtasini bilish kifoya.

Boshlangʻich fizikada bir xil formulalar koʻpincha turli xil belgilarda yoziladi:

$${\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}$$

bu yerda u v₀ ga almashtirgan boʻlsa, s r - r₀ ni almashtiradi. Ular koʻpincha SUVAT tenglamalari deb ataladi, bu yerda „SUVAT“ oʻzgaruvchilarning qisqartmasi : s = siljish, u = boshlangʻich tezlik, v = yakuniy tezlik, a = tezlanish, t = vaqt .

Umumiy tekis harakat

Koordinata vektori r, har doim koordinata boshidan radial ishora qiladi.

Tezlik vektori v, har doim harakat yoʻliga teginish.

Tezlanish vektori a, radial harakatga parallel emas, balki burchak va Koriolis tezlanishlari bilan qoplanadi, yoʻlga teginish ham emas, balki markazga yoʻnaltirilgan va radial tezlanishlar bilan qoplanadi.

Tekislik qutb koordinatalarida kinematik vektorlar. Eʼtibor bering, oʻrnatish 2D boʻshliq bilan cheklanmagan, lekin har qanday yuqori oʻlchamdagi tekislik.

Bu r = r(t) pozitsiyasi bilan tavsiflangan tekislikdagi yoʻlni bosib oʻtadigan zarracha uchun kinematik tenglamalar. Ular oddiygina burchak tezligi ω va burchak tezlanishi α uchun jismoniy miqdorlarning taʼriflaridan foydalangan holda tekislik qutb koordinatalaridagi pozitsiya vektorining vaqt hosilalaridir. Bu vaqt oʻtishi bilan oʻzgarib turadigan oniy miqdorlar.

Zarrachaning joylashuvi:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$

bu yerda ê_r va ê_θ qutb birlik vektorlari. Vaqtga qarab farqlash tezlikni beradi:

$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

radial komponentli dr/dt va aylanish tufayli qoʻshimcha komponent rω bilan. Vaqtga nisbatan farqlash yana tezlanishni oladi:

$\mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

radial tezlanish d²r/dt², markazga yoʻnaltirilgan tezlanish –rω², Koriolis tezlanishi 2ωdr/dt va burchak tezlanishi rα ga boʻlinadi.

Ushbu tenglamalar bilan tasvirlangan harakatning maxsus holatlari quyidagi jadvalda sifat jihatidan umumlashtirilgan. Radial komponentlar yoki burchakli komponentlar nolga teng boʻlsa va harakatning nolga teng boʻlmagan komponenti bir xil tezlanishni tavsiflagan hollarda yuqorida ikkitasi allaqachon muhokama qilingan.

Harakatning dinamik tenglamalari

Nyuton mexanikasi

Tuzilgan birinchi umumiy harakat tenglamasi Nyutonning ikkinchi harakat qonuni edi. Eng umumiy shaklda u jismning impuls momentining oʻzgarish tezligini bildiradi p = p(t) = mv(t) unga taʼsir qiluvchi F = F(x(t), v(t), t) kuchga teng:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

Tenglamadagi kuch ob’ekt taʼsir qiladigan kuch emas . Impulsni massa va tezlik bilan almashtirgan holda, qonun ham mashhurroq yoziladi

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

chunki m Nyuton mexanikasida doimiydir.

Nyutonning ikkinchi qonuni nuqtaga oʻxshash zarralarga va qattiq jismdagi barcha nuqtalarga taalluqlidir. Ular, shuningdek, deformatsiyalanadigan qattiq jismlar yoki suyuqliklar kabi massa kontinuumidagi har bir nuqtaga taalluqlidir, lekin tizimning harakatini hisobga olish kerak; moddiy hosilaga qarang. Massa doimiy boʻlmagan taqdirda, massa va tezlik boʻyicha vaqt hosilasi uchun mahsulot qoidasini qoʻllash etarli emas va Nyutonning ikkinchi qonuni impulsning saqlanishiga mos keladigan baʼzi oʻzgarishlarni talab qiladi; oʻzgaruvchan massa tizimiga qarang.

Nyutonning harakat qonunlaridan foydalangan holda vektor koʻrinishidagi harakat tenglamalarini yozish oson boʻlishi mumkin, ammo komponentlar fazoviy koordinatalar va vaqt bilan murakkab yoʻllar bilan farq qilishi mumkin va ularni echish oson emas. Koʻpincha muammoni toʻliq hal qilish uchun ortiqcha oʻzgaruvchilar mavjud, shuning uchun Nyuton qonunlari har doim ham tizimning harakatini aniqlashning eng samarali usuli emas. Toʻrtburchaklar geometriyaning oddiy holatlarida Nyuton qonunlari Kartezian koordinatalarida yaxshi ishlaydi, ammo boshqa koordinata tizimlarida keskin murakkablashishi mumkin.

Impuls shakli afzalroqdir, chunki u maxsus va umumiy nisbiylik kabi murakkabroq tizimlar uchun oson umumlashtiriladi (toʻrt momentumga qarang). Bundan tashqari, impulsni saqlash bilan ham foydalanish mumkin. Biroq, Nyuton qonunlari impulsning saqlanishidan koʻra asosiyroq emas, chunki Nyuton qonunlari jismga taʼsir etuvchi nol natijaviy kuch doimiy impulsni bildiradi, natijada esa impuls doimiy emasligini anglatadi. Impulsning saqlanishi har doim natijaviy kuchlarga boʻysunmaydigan izolyatsiyalangan tizim uchun toʻgʻri boʻladi.

Bir qator zarralar uchun (koʻp tana muammosiga qarang), boshqa zarralar taʼsirida i bir i zarrachaning harakat tenglamasi quyidagiga teng :

${\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$

Bu yerda p_i i zarraning impulsi, F_ij — j zarrachaning i zarraga taʼsiri va F_E — tizimga kirmaydigan har qanday agent tufayli hosil boʻlgan tashqi kuch. i zarracha oʻziga kuch taʼsir qilmaydi.

Eylerning harakat qonunlari Nyuton qonunlariga oʻxshaydi, lekin ular qattiq jismlar harakati uchun maxsus qoʻllaniladi. Nyuton-Eyler tenglamalari qattiq jismga taʼsir etuvchi kuchlar va momentlarni bitta tenglamaga birlashtiradi.

Nyutonning aylanish uchun ikkinchi qonuni tarjima holatiga oʻxshash shaklni oladi:

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,$

jismga taʼsir etuvchi momentni uning burchak momentum L oʻzgarish tezligiga tenglash orqali. Massaning tezlanishiga oʻxshash, inersiya momenti I tensorning aylanish oʻqi atrofida massa taqsimotiga bogʻliq, burchak tezlanishi esa burchak tezligining oʻzgarish tezligi,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.$

Shunga qaramay, bu tenglamalar zarralar kabi nuqtaga yoki qattiq jismning har bir nuqtasiga tegishli.

Xuddi shunday, bir qancha zarralar uchun bir zarracha i uchun harakat tenglamasi ga teng.

$${\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,$$

Bu yerda L_i i zarrachaning burchak momenti, τ_ij zarrachaning i zarrasi boʻyicha momenti va τ_E — hosil boʻlgan tashqi moment (tizimning bir qismi boʻlmagan har qanday agent tufayli) j i zarracha oʻziga moment taʼsir qilmaydi.

Ilovalar

Nyuton qonunining baʼzi misollari oddiy mayatnikning harakatini tasvirlashni oʻz ichiga oladi.

$$-mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,$$

va damlangan, sinusoidal boshqariladigan garmonik osilator,

$$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.$$

Massalarning tortishish taʼsirida harakatini tasvirlash uchun Nyutonning tortishish qonuni Nyutonning ikkinchi qonuni bilan birlashtirilishi mumkin. Ikkita misol uchun, m massali toʻp havoga tashlangan, qarshilik kuchlarining vektor maydoni bilan tasvirlangan havo oqimlarida (shamol kabi) R = R(r, t) ,

$$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A}$$

Bu yerda G — tortishish doimiysi, M Yerning massasi va A = R/m

Gravitatsiya tufayli bir-biri bilan oʻzaro taʼsir qiluvchi N zarralar uchun klassik jism muammosi N chiziqli boʻlmagan ikkinchi tartibli ODE toʻplamidir,

$${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})$$

bu yerda i = 1, 2, …, N har bir zarracha bilan bogʻliq boʻlgan miqdorlarni (massa, joy, va hokazo) belgilaydi.