Foydalanuvchi munozarasi:Adhamboy 0007
 Tez boshlash uchun qoʻllanma
|
Vikipediyaga xush kelibsiz, Adhamboy 0007! |
 Birinchi qadam
|
Vikipediya foydalanuvchilari nomidan uning oʻzbek tilidagi boʻlimiga kelganingiz bilan qutlayman. Umid qilamizki, siz loyihada ishtirok etishdan behad mamnun boʻlasiz.
Ishtirok etishning asosiy tamoyillariga eʼtibor bering: bemalol tahrirlang va ezgu maqsadni koʻzlang.  Vikipediyada maqolalar ostiga imzo qoʻyilmaydi (mualliflar roʻyxati avtomatik shakllanib boradi va maqolaning tahrirlar tarixidan olinishi mumkin boʻladi), biroq forumdagi muhokamalarda yoki alohida sahifalarning munozaralarida ishtirok etishni istasangiz — iltimos, toʻrtta tilda ( Foydalanuvchi sahifangizda oʻzingiz haqingizdagi ayrim maʼlumotlar haqida xabar berishingiz mumkin — masalan, qaysi tillarni bilishingiz yoki qiziqishlaringiz. Endi boshlayotganlarning tez-tez qiladigan xatolaridan biri — mualliflik huquqlarini buzishdir. Vikipediyada mualliflik huquqi egasining ruxsatisiz matnlardan nusxa koʻchirish taqiqlanadi. Batafsil maʼlumot uchun Vikipediya:Mualliflik huquqlari sahifasiga nazar soling. Yozilgan matn imlosini tuzatish kabi koʻp mehnat talab qiladigan amallarni bajarish uchun tahrirlash oynasining tagida joylashgan Vikifikator funksiyasidan foydalanishingiz mumkin. Agar siz bitta tahrir bilan maqola yarata olmasangiz va uni yozishni keyinroq davom ettirmoqchi boʻlsangiz, bu haqda boshqa foydalanuvchilarni xabardor qilish uchun maqola matnining eng boshiga Agar sizda savollar tugʻilib qolsa, Yordam sahifasidan foydalaning. Agar savollaringizga u yerda javob topa olmagan boʻlsangiz, unda uni loyiha forumida yoki Telegram chatda bering yoki shaxsiy munozara sahifangizni tahrirlang: u yerga Vikiiqtibos, Vikilugʻat, Vikimaʼlumotlar, Vikiombor kabi Vikipediyaga qardosh boshqa loyihalar ham bor. Ularni boyitishga ham hissa qoʻshishingiz mumkin. Va yana bir marotaba, xush kelibsiz! Hello and welcome to the Uzbek Wikipedia! We appreciate your contributions. If your Uzbek skills are not good enough, that’s no problem. We have an embassy where you can inquire for further information in your native language. We hope you enjoy your time here!
|
 Maqolalarni nomlash
| |
 Maqola qanday yoziladi? Qarang: Maqola ustaxonasi / Videodarslar
| |
 Qoida va koʻrsatmalar
| |
 Tasvirlar bilan bezash
| |
 Mualliflik huquqlari
| |
 Glossariy
|
--Amir.Temur (munozara) 12:55, 11-sentabr 2014 (UTC)
Geometriya haqida umumiy ma'lumotGeometriya haqida umumiy tushuncha Geometriya (yunon. geo - Yer, metriya - o'lchayman) — matematikaning bir sohasi, fazodagi geometrik jism xossalari va ular orasidagi bog'lanishlarni o'rganadi. Yer oʻlchash bilan bogʻliq ravishda paydo boʻlgan. Nomi shundan kelib chiqqan. Masalan ochiq silindrsimon idishning shakli, hajmi, sirtining yuzi Geometriyada o’rganiladi, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa geometriyani qiziqtirmaydi. Shuningdek, asosi doyra boʻlsa ham, shaklda ellips bilan tasvirlanishi geometriyaga mansub munosabatdir. Geometria tushunchalarni mavhumlashtirib, ideallashtirib oʻrganadi. Masalan, silindrsimon idishning asosi doiradan bir oz farq qilishi, yasovchisi toʻppa-toʻgʻri boʻlmasligi mumkin, sirti qalinlikka ega, asosi bilan yon sirti tik tutashmay, silliqlangan boʻladi, lekin geometriyada bu kabi tafeilotlar soqit qilinadi. Shunday yoʻl bilan oʻlchamlarga ega boʻlmagan nuqta, har ikki tomonga cheksiz davom etuvchi toʻgʻri chiziq kabi tushunchalar, parallellik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng , maʼlum maʼnoda mutlaq va universal tabiatli qonuniyatlar aniqlanadi. Geometriyaga oid dastlabki maʼlumotlar qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yoʻli (empirik usul) bilan toʻplangan. Masalan bir juft parallel toʻgʻri chiziqni uchinchi toʻgʻri chiziq kesib oʻtsa, hosil boʻlgan 8 ta burchakdan toʻrttadani oʻzaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik boʻlgan uchburchakning bir burchagi toʻgʻri. Geometrik xossalarni toʻplash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida ayrim dalillarni boshqalaridan sof mantiqiy yoʻl bilan chiqarishga olib kelgan. Tayin geometrik xossani mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlagan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil. av. 625-548 y.lar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademiyasida mantiq va matematika muhim oʻrin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shugʻullanishgan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalillarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid oʻzining mashhur "Negizlar" asarini yaratadi. Bu asar nafaqat matematika tarixida, balki umuman tafakkur taraqqiyotida beqiyos oʻrin tutib, 2000 yil davomida mantiqiy mushohada namunasi boʻlib xizmat qildi. "Negizlar" da Yevklid nuqta, toʻgʻri chiziq, tekislik, tenglik, toʻgʻri chizik yoki tekislikning nuktadan oʻtishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, koʻpburchak, parallellik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga taʼrif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi. Qadimgi Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini oʻlchash, navigatsiya, astronomiya, meʼmorlik masalalarini hal qilish uchun vujudga kelgan boʻlsa, Yunonistonda geometriya sanʼat sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erishdi. Xususan, sirkul va chizgʻich yordamida shakllar yasash rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham koʻrinadiki, ular qoʻygan muntazam koʻpburchaklar yasash masalasi 1796 y. (K. F. Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882 y.dagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va boshqa ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini hisoblashda integral hisob elementlari qoʻllaganlar (Arximed va b.). Pergalik Apolloniyga mansub konus kesimlari nazariyasini esa shubhasiz yunon geometriyasining gultojisi deyish mumkin. Milllodiy 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatlari, Oʻrta Osiyo va Hindistonda taraqqiy qila bordi. VII – VII asrlar davomida Hindistonda geometriyaga oid ayrim yutuqlar qoʻlga kiritilgan boʻlsa ham (masalan, aylanaga ichki chizilgan toʻrtburchak yuzi uchun Brahmagupta formulasi), fan tarixidagi uygʻonish IX asrdan arab tilida ijod qilgan Yaqin va Oʻrta Sharq, xususan, oʻrta osiyolik olimlar faoliyati bilan bogʻliq. Ahmad al-Fargʻoniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.). Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boshladi. Bu gʻoyalar 16-asrdan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P. Ferma, R. Dekart). Shu davrdan boshlab meʼmorlik va tasviriy sanʼat yuksalishi munosabati bilan perspektiv akslantirish xossalari oʻrganildi va proyektiv geometriya vujudga keldi. 18-asrda differensial va integral hisob ixtiro qilingach, geometriya masalalarini yechishning standart usullari ishlab chiqildi va silliq chiziqlar hamda sirtlarni oʻrganuvchi differensial geometriya rivojlandi. Yassi chiziq, fazodagi chiziq va sirt mos ravishda x=x(t)U = AOx = x(t) U = y{t) z = z(t)x = x(u, v) = y(u,v) = z(u,v)koʻrinishdagi formulalar bilan beriladi. Masalan, x=(‘/J+rcosv/)cosi/, y-(R+ +rcosv)sinu, z—rsinv tenglamalar tor deb ataluvchi sirt hosil qiladi. Agar bu yerda u-2t, v=3r deb olinsa, tor ustida yotuvchi chiziq tenglamasi hosil qilinadi (u tugunli boʻlib, uch yaproq deb ataladi). B. Rimankichik boʻlaklari yuqoridagi kabi sistemalar bilan beriladigan obʼyektlar u-ixtiyoriy oʻlchamli qurama (manyfold) tushunchasini kiritdi. Shundan soʻng geometriya butun matematika uchun kuchli qurolga aylandi (S. Li, E. Kartan va b.). Xususan, bu yondashuv nisbiylik nazariyasida muhim tatbiqlar topdi. XIX asr oxiri va XX asr boshida chiziqlar, sirtlar va quramalarning goʻyo rezinkadan yasalgan deb istalgancha deformatsiyalaganda oʻzgarmaydigan xossalari yigʻilib bordi. Ularni oʻrganishda differensial hisob usullari yetmas yoki ojizlik qilar edi. Mas, Myobius yaprogʻining faqat bitta tomoni borligi, uch yaproq tugunini yechib boʻlmasligi shunday xossalarga kiradi. Bu masalalar geometriyaning yangi boʻlimi — topologiya tugʻilishiga olib keldi. U esa, oʻz navbatida, XX asr matematikasini ifodalovchi geometriya, algebra va funksiyalar nazariyasining sintezidan iborat yoʻnalish — xilma-xil fazolarni oʻrganishga poydevor boʻldi. Yevklidning "Negizlari" 2000 yil davomida mantiqiy qatʼiylik namunasi boʻlib kelganligiga qaramay, uning ayrim oʻrinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlangʻich tushunchalar tarkibi qayta koʻrib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari bilan toʻldirilgan, qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga oʻtkazilgan. Bu ish D. Gilbertning "Geometriya asoslari" asarida yakunlandi. Deyarli Yevklid zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallellik aksiomasini isbotlashga juda koʻp urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G. Lambert), chunki matematiklarda u teorema boʻlishi kerak degan ishonch hukm surgan, xilma-xil "isbotlar" ham taklif etilgan, lekkn bu isbotlarning barchasida mantiqiy nosozlik uchraydi — Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshka tasdikdan (mas, uchburchak burchaklarining yigindisi 180° ga tengligidan) foydalanib ketilgan. Bu sohadagi izlanishlar avval Yevklid geometriyasidan parallellik aksiomasi soqit qilingan mutlaq geometriya, soʻng parallellik aksiomasi oʻrniga uning inkori aksioma qilib olingan noyevklid G. (Lobachevskiy geometriyasi, 1826 y.) ixtiro qilinishiga olib keldi. Yevklid geometriyasi ham, noyevklid geometriya ham bir xil darajada ziddiyatdan xoli ekanligini qatiy isbotlagan F. Kleyn gruppa tushunchasi yordamida geometriya sohalarining tasnifini berdi (Erlangen dasturi). Unga muvofiq har bir geometriya oʻzining geometrik almashtirishlar gruppasi bilan ifodalanadi. Shakllarning bunday almashtirishlarda oʻzgarmay qoladigan (invariant) xossalari tegishli geometriya Sohalarining oʻrganish obʼyekti boʻladi. Kleyn nuqtai nazaridan maxsus nisbiylik nazariyasi Lorens gruppasiga mos keluvchi geometriyadir. Shakllarning xossalarini oʻrganishda ularning koʻlamiga qarab geometriya yana ikki turga boʻlinadi: shakllarning kichik (mahalliy) sohalari xossalarini oʻrganuvchi sohalar geometriyasi va shakllarni yaxlit obʼyekt sifatida oʻrganuvchi toʻla (global) G. Hozirgi davrda Geometriya matematikaning barcha sohalarida, shakl va holatlarga doir tushunchalarni tasavvur qilishda qoʻllanilmoqda. Oʻzbekistonda ham geometriya tarixiga oid tadqiqotlar olib boriladi (G. P. Matviyevskaya, A. Ahmedov va b.)- OʻzMU, SamDU matematiklari tomonidan geometriya rivojlantirilmoqda.
Geometriya qo'yidagi bo'limlardan iborat: • Elementar geometriya — Planimetriya va Stereometriyani o'z ichiga oladi. Shuningdek, nuqta, to'g'ri chiziq, yuza va fazodagi jismlarni o'rganadi. • Analitik geometriya — unda sodda geometrik obrazlar (nuqtalar, to'g'ri chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va sirtlar) koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o'rganiladi. • Differentsial geometriya — differentsial funktsiyalar bilan berilgan chiziq va yuzalarni, ularning akslantirishlarini o'rganadi. • Topologiya — uzluksizlik haqidagi fan.
Elementar Geometriya
Elementar geometriya — geometriyaning aylana, nuqta, kesma, toʻgʻri chiziq, burchak, tekislik, ellips, silindr kabi figuralarning xususiyatlari hamda ulardan tashkil topgan sodda figuralarning oʻzaro vaziyati, tengligi masalalari bilan shugʻullanadigan boʻlimi. Unda teoremalarni isbotlash va xulosa chiqarish yoʻli esa maʼlum mulohazalarga suyanish, aksiomalarga va oldingi isbotlarga asoslanish, yordamchi geom. yasashlarni bajarishdan iborat. Elementar geometriya asoslari Yunonistonda vujudga kelgan, Yevklidning "Negizlar" asarida uning yuzakiroq bayoni berilgan elementar geometriya da har gal "oʻzining" konkret geom. xossasi koʻrsatilgan (mas, ellips, silindr kabi) figuralar oʻrganiladi, bunday tayin figuralarga doir uzunlik, yuza, hajm, oʻzaro vaziyat masalalari qaraladi, lekin ularga doir umumiy tushunchalar elementar geometriya chegarasidan chiqadi. Elementar geometriyada limit tushunchasi ham konkret hollarda qoʻllanadi (mas, aylana uzunligi), bu tushuncha umumiy holda oliy matematika fanida ishlatiladi elementar geometriya analitik geometriya, poʻlchovli yevklid fazosi, Lobachevskiy geometriyasi va Riman geometriyasining baʼzi bir masalalarini ham oʻz ichiga oladi.
Analitik geometriya
Analitik geometriya - geome-triya bo‘limi; unda sodda geometrik ob-razlar (nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli egri chiziqlar va sirtlar) koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o‘rganiladi. Koordinatalar usulining mohiyati quyidagicha: a tekislikda o‘zaro perpendikulyar Ox va Oy to‘g‘ri chiziqlarni chizamiz, ularda musbat yo‘nalishlarni, koordinata boshi O nuqtani va masshtab birligi ye ni tanlab olamiz. Bu holda a tekislikda to‘g‘ri burchakli Dekart koor-dinatalar tizimi Oxy berilgan deyiladi; Ox abssissalar o‘qi, Oy esa ordinatalar o‘qi deyiladi. Tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning holati OMx va OMy kesmalarning (tegishli ishora bilan olingan) uzunliklari x va y bilan bir qiymatli aniqlanadi. Abssissasi x va ordinatasi y bo‘lgan M nuqta M(x,y) kabi belgilanadi. Shu a tekislikda biror chiziq olingan bo‘lsa, unga tegishli nuqtalarning va faqat shu nuqtalarning koordinatalari 463G‘(x, y)=O tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglama L chiziq tenglamasi deyiladi. Tekislikdagi analitik geometriyada to‘g‘ri chiziqlar, ikkinchi tartibli egri chiziqlar (ellips, parabola, giperbola) batafsil o‘rganiladi. Fazoda ham Dekart koordinatalar tizimi kiritiladi va turli chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli sirtlar ularning tenglamalari vositasida o‘rganiladi. analitik geometriyaning asosiy g‘oyasi R. Dekartnt "Geometriya" (1637 y.) kitobida birinchi marta to‘la bayon etilgan. Analitik geometriya taraqqiyotiga yana P. Ferma, G. Leybnits, I. Nyuton, L. Eyler katta hissa qo‘shganlar. analitik geometriya metodlari matematika, mexanika, fizika va b. fanlarda keng qo‘llaniladi.Tursun Azlarov.
Differensial geometriya
Differensial geometriya - geometriya boʻlimi. Geometrik obrazlar (egri chiziqlar, sirtlar va ularning oilalari)ni koordinatalar metodi asosida differensial hisob va integral hisob vositalarida oʻrganadi. Differentsial geometriyaning dastlabki muhim obʼyektlari uch oʻlchovli yevklid fazosidagi egri chiziqlar va egri sirtlardir. Uning oʻziga xos xususiyati birinchi navbatda chiziqlar va sirtlarning har qancha kichik sohalariga oid xossalarini tekshirishdir. XIX asrning ikkinchi yarmidan boshlab differentsial geometriyachegaralari kengayib, koʻp oʻlchovli fazolarni va ulardagi geometrik obrazlarni tekshirish masalalarini ham oʻz ichiga oladi. Jumladan geometrik obrazlarning affin va proyektiv almashtirishlar natijasida oʻzgarmaydigan differensial xossalarini oʻrganuvchi nazariya, koʻp oʻlchovli noyevklid fazolar nazariyasi va h. k. Bu nazariyalar fizika (ayniqsa, nisbiylik nazariyasi)da keng qoʻllaniladigan boʻldi. Differentsial geometriyaning asosiy tushunchalari: egrilik, buralish, sirtning birinchi va ikkinchi kvadratik shakllari, toʻliq egrilik, geodezik chiziq va boshqalar.
Topologiya Topologiya (lot. topos — joy, oʻrin va ...logiya) — matematikaning istalgan tabiatli obyektlar shakli bilan bogʻliq eng umumiy xossalarni oʻrganuvchi sohasi hamda shu sohaning eng muhim tushunchalaridan biri. Geometriyaning bir necha ming yillik tarixiy rivojlanishi davomida koʻplab tayin chiziklar va sirtlar xossalari oʻrganib kelingan boʻlsa, XIX asrning soʻnggi choragida, bir tomondan, B. Riman, S. Li kabi matematiklar chiziq va sirt tushunchalarini umumlashtirish natijasida ancha keng geometrik obraz — qurama (koʻpxillik ham deyiladi) tushunchasini kiritdilar; ikkinchi tomondan, funksiyalarning turli sinflarini oʻrganish natijasida fransuz matematiklari A. Lebeg (1875— 1941), E. Borel (18711956) va b. ishlarida analisis situs (oʻrinjoy tahlili) deb nomlangan yoʻnalish shakllana boshladi. Xuddi shu davrda italiyalik matematik E. Betti (1823—98) koʻpyokdilar haqidagi Eyler teoremasini umumlashtirib, koʻp oʻlchovli koʻpyoqsimon (hoz. atamaga koʻra, chiziqli boʻlakli) quramalarning murakkablik darajasini belgilovchi koʻrsatkich — Betti sonlarini kiritdi. Bir oz keyin J. A. Puankare yana ham umumiyroq gomologik va fundamental gruppa tushunchalarini qoʻllash natijasida topologiya matematikaning keyingi taraqqiyotida muhim rol oʻynashini bashorat qildi. XX asr boshlarida nemis matematigi F. Xausdorf (1868—1942) topologik fazo tushunchasiga taʼrif berdi. Shundan soʻng topologiyaning jadal surʼatlar bilan rivojlanish davri boshlandi. XX asrning oʻrtalariga kelib topologiya algebra bilan bir qatorda butun matematikaning poydevorini tashkil qilishi, matematika sohalari u yoki bu darajadagi nisbatda olingan algebra bilan topologiya tushuncha va gʻoyalarining sintezidan iborat boʻlishi eʼtirof etildi. Agar istalgan tabiatli X toʻplam oʻz holicha qaralsa, uning elementlari orasida hech bir munosabat boʻlmaydi. Agar X toʻplam metrik fazo boʻlsa, u gʻolda nuqtalar orasida masofani oʻlchash va shu bilan bogʻliq tushunchalarni oʻrganish imkoniyati tugʻiladi. Bunga nisbatan gʻoyat keng tushuncha — nuqtaning qismtoʻplamga yaqinligi yoki nuqtaning atrofi tushunchasidir. Masalan matematik analizning asosiy goyasi — funksiyalarning lokal (yaʼni nuqtaning atrofidagi tabiati bilangina belgilanadigan) xossalari va ulardan kelib chiqadigan natijalarni oʻrganishdan iborat. Bunda a nuqtaning (a—e,yaQe) koʻrinishdagi intervallar majmuasi asosiy rol oʻynaydi. Agar X toʻplamning har bir nuqtasi uchun quyidagi aksiomalarni qanoatlantiradigan atroflari majmuasi koʻrsatilgan boʻlsa, X topologik fazo boʻladi; 1) har bir nukta oʻzining ixtiyoriy atrofiga tegishli; 2) agar U nuktaning atrofi hamda UcW boʻlsa, u holda W ham shu nuqtaning atrofi. Shunday qilib, topologik fazo — biror yoʻsinda topologiya bilan taʼminlangan toʻplamdir. Bunda ana shu majmualar tizimi X fazoning topologiyasi deyiladi. Masalan, X toʻplam [a, ] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan boʻlsa, f(x) funksiyaning atrofi qanday funksiyalardan tuzilishiga qarab xossalari bir-biridan farq qiladigan topologik fazolar hosil boʻladi. Odatda, bir toʻplam bir necha usulda topologik fazoga aylantirilishi mumkin. Bunda ularning topologiyalari nuqtalar atroflari majmualari boyligiga qarab oʻzaro taqqoslanadi — bir topologiya ikkinchisiga nisbatan kuchliroq (boyroq), ikkinchisi esa kuchsizroq deb ataladi. Masalan, barcha x nuqta uchun bittagina atrof X ning oʻzidan iborat boʻlsa, eng kuchsiz topologiya, aksincha x ni oʻz ichiga oladigan istalgan toʻplam uning atrofi deb eʼlon qilinsa, eng kuchli (diskret) topologiya hosil boʻladi. Shuningdek, topologiya atroflar oʻrniga ochiq toʻplamlar, yopiq toʻplamlar, chegara, yopilma, toʻplamning ochiq yadrosi, atroflar bazasi kabi xilma xil usulda aniqlanishi mumkin — ularning bari oʻzaro teng kuchlidir. Istalgan toʻplamda turli usulda xilmaxil topologiya kiritish mumkinligi topologiya matematikaning universal sohasi ekanligidan dalolat beradi. Topologiyaning eng muhim tushunchalaridan biri — bir topologik fazoning ikkinchi topologik fazoga uzluksizdir. Bunda Gʻning x0 nuqtadagi uzluksizligi shunday taʼriflanadi: J[x0) ning ixtiyoriy V atrofi uchun xd nuqta f(U)cV shartni qanoatlantiruvchi U atrofga ega. topologiya tatbiqlarida bunga nisbatan teskari yondashuv ham koʻp qoʻllanadi: agar f:X>Y akslantirish berilgan boʻlib, X (yoki Y) topologik fazo boʻlsa, u holda Yda (moye ravishdan X da) Gʻakslantirish uzluksiz boʻladigan eng kuchsiz (moye ravishda eng kuchli) topologiya kiritish mumkin. Bu usulni umumlashtirish yoʻli bilan topologik fazolar va uzluksiz akslantirishlar ustida qismfazo, Dekart koʻpaytmasi, topologik fazolarni yelimlash kabi muhim amallar anikdanadi. Shunday qilib topologiya — topologik fazolar, ularning uzluksiz akslanmalari hamda ular bilan boshqa matematik obʼyektlar orasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi fandir. Agar A va K topologik fazolar oʻrtasida oʻzi ham, teskarisi ham uzluksiz boʻlgan oʻzaro bir qiymatli akslantirish oʻrnatish mumkin boʻlsa, X va Y gomeomorf fazolar deyiladi. Bunday fazolar topologiya nuqtai nazaridan bir-biridan farq qilmaydi — biriga oid xossalar ikkinchisida ham oʻrinli boʻladi. Shuning uchun mana shunday, yaʼni gomeomorf akslantirishda oʻzgarmaydigan xossalar topologik invariantlar deyiladi. Topologik fazoning kompaktligi, oʻlchami, tutash (bogʻlamli) komponentalar soni, bir nuqtaga yigʻishtirilishi, sirtlarning bir yoki ikki tomonliligi, uch oʻlchovli fazodagi chizikdarning tugilgan yoki tugilmaganligi topologik invariant namunalaridir. topologiyada invariantlar vositasida murakkab muammolar hal etiladi. Topologik fazolar, ularning akslantirishlari va invariantlarining xilmaxilligi tufayli XX asrning 2 -yarmidan topologiya tarmoqlanib rivojlana boshlagan. Umumiy (nazariy abstrakt) topologiyada topologik fazolar qoʻshimcha aksiomalar bilan oʻrganiladi. Kombinatorik (chizikliboʻlakli) topologiya triangulyatsiyalanadigan fazolarni tekshiradi. Algebraik topologiyada topologik masalalarni algebra masalasiga keltirishga asoslangan usullar rivojlantiriladi. Differensial topologiyada differensial geometriya va topologiya chegarasidagi masalalar, maxsusliklar nazariyasida silliq akslantirishlarning xususiyatlari, nazariyada topologiyaning differensial operatorlarga tatbiqi oʻrganiladi. Topologiya, shuningdek, nazariy va kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi kabi sohalarda muhim tatbiqlarga ega.