Mukammal son

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
6 raqamining mukammal son holatidagi tasviri

Raqamlar nazariyasida mukammal son bu sonning oʻzidan tashqari uning musbat boʻluvchilari yigʻindisiga teng boʻlgan musbat butun sondir. Masalan, 6 sonining 1, 2 va 3 boʻluvchisi bor (oʻzidan tashqari) va 1 + 2 + 3 = 6, shuning uchun 6 mukammal sondir.

Sonning boʻluvchilari yigʻindisi, sonning oʻzi bundan mustasno, uning alikvot yigʻindisi deyiladi, shuning uchun mukammal son uning alikvot yigʻindisiga teng boʻlgan sondir. Ekvivalent tarzda, mukammal son — uning barcha musbat boʻluvchilari yigʻindisining yarmiga teng boʻlgan son; belgilarda, bu yerda boʻluvchilar yigʻindisi funksiyasidir. Masalan, 28 soni 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 mukammaldir.

Bu taʼrif qadimiy manbalarga asoslangan boʻlib, Evklidning elementlari (VII.22) asarida paydo boʻlgan, u yerda u τέλειος ἀριθμός (mukammal, ideal yoki toʻliq son)deb ataladi. . Evklid shuningdek, shakllanish qoidasini (IX.36) isbotladi har doim ham mukammal son shaklning boshi hisoblanadi musbat butun son uchun  — hozir Mersenn boshi deb ataladigan narsa. Ikki ming yil oʻtgach, Leonhard Eyler barcha hatto mukammal sonlar ham shu shaklda ekanligini isbotladi.[1] Bu Evklid-Eyler teoremasi deb nomlanadi.

Toq mukammal sonlar yoki cheksiz koʻp mukammal sonlar mavjudligi nomaʼlum. Birinchi bir nechta mukammal raqamlar 6, 28, 496 va 8128.

Kelib chiqishi[tahrir | manbasini tahrirlash]

Taxminan  Miloddan avvalgi 300-yilda Evklid shuni koʻrsatdiki, agar 2 p − 1 tubdan keyin 2 p −1 (2 p − 1) mukammal. Dastlabki toʻrtta mukammal son qadimgi yunon matematikasiga maʼlum boʻlgan yagona sonlar edi va matematik Nikomax miloddan avvalgi 100-yilda 8128 ni qayd etgan.[2] Zamonaviy til bilan aytganda, Nikomax har bir mukammal son bu yerda asosiy) quyidagi shaklda ekanligini isbotsiz taʼkidlaydi.[3][4] U n ning oʻzi asosiy boʻlishi kerakligini bilmaganga oʻxshaydi. Shuningdek, u (notoʻgʻri) mukammal sonlar navbatma-navbat 6 yoki 8 bilan tugashini aytadi. (Birinchi 5 ta mukammal raqam 6, 8, 6, 8, 6 raqamlari bilan tugaydi, oltinchisi ham 6 bilan tugaydi.) Iskandariyalik Filo birinchi asrda yozilgan „Yaratilish haqida“ kitobida mukammal sonlarni tilga olib, dunyo 6 kunda yaratilgan, Oy esa 28 kunda aylanib chiqadi, chunki 6 va 28 mukammaldir. Filodan keyin Origen[5] va Didim koʻr, 10 000 dan kam boʻlgan faqat toʻrtta mukammal raqam borligini kuzatishni qoʻshadi. (Ibtido 1. 14-19 ga izoh).[6] Avliyo Avgustin eramizning 5-asr boshlarida Xudoning shahrida (XI kitob, 30-bob) mukammal raqamlarni belgilaydi va Xudo dunyoni 6 kunda yaratgan degan daʼvoni takrorlaydi, chunki 6 eng kichik mukammal sondir. Misrlik matematik Ismoil ibn Fallus (1194—1252) keyingi uchta mukammal raqamni (33,550,336; 8,589,869,056; va 137,438,691,328) eslatib oʻtgan va hozirda notoʻgʻri ekanligi maʼlum boʻlgan yana bir nechtasini sanab oʻtgan.[7] Beshinchi mukammal raqam haqida birinchi maʼlum Yevropa eslatmasi nomaʼlum matematik tomonidan 1456 va 1461-yillar orasida yozilgan qoʻlyozmadir. 1588-yilda italyan matematigi Pietro Kataldi oltinchi (8 589 869 056) va yettinchi (137 438 691 328) mukammal sonlarni aniqladi, shuningdek, Evklid qoidasidan olingan har bir mukammal son 6 yoki 8 bilan tugashini isbotladi.[8][9]

Juft mukammal sonlar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  Evklid 2 p −1 (2 p − 1) har doim 2 p boʻlganda, juft mukammal son − 1 — asosiy (Elementlar, Prop. IX.36).

Masalan, birinchi toʻrtta mukammal raqam 2 p −1 (2 p − 1), p bilan tub son, quyidagicha:

p = 2 uchun: 2 1 (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
p = 3 uchun: 2 2 (2 3 − 1) = 4 × 7 = 28
p = 5 uchun: 2 4 (2 5 − 1) = 16 × 31 = 496
p = 7 uchun: 2 6 (2 7 − 1) = 64 × 127 = 8128.

2 p shaklidagi tub sonlar − 1 raqamlar nazariyasi va mukammal sonlarni oʻrgangan XVII asr rohibi Marin Mersennadan keyin Mersenne tub sonlari sifatida tanilgan. 2 p uchun − 1 tub boʻlishi uchun p oʻzi tub boʻlishi kerak. Biroq, 2 p shakldagi barcha raqamlar emas − 1-sonli p soni tub; masalan, 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 tub son emas. Aslida, Mersenne tub sonlari juda kam uchraydi — 2 610 944 tub sondan p dan 43 112 609 gacha,[10] 2 p . − Ulardan faqat 47 tasi uchun 1 asosiy hisoblanadi.

Garchi Nikomach barcha mukammal sonlar shaklga ega ekanligini (dalilsiz) taʼkidlagan boʻlsa-da qayerda tub boʻlsa (garchi u buni biroz boshqacha taʼkidlagan boʻlsa-da), Ibn al-Haysam (Alhazen) taxminan eramizning 1000-yillarida faqat har bir juft mukammal son shu shaklda boʻlishini taxmin qilgan. Faqat 18-asrgacha Leonhard Eyler 2 p −1 (2 p) formula ekanligini isbotladi. − 1) barcha juft mukammal sonlarni beradi. Shunday qilib, hatto mukammal sonlar va Mersen tub sonlari oʻrtasida yakkama -yakka muvofiqlik mavjud; har bir Mersenne tub soni bitta mukammal son hosil qiladi va aksincha. Bu natija koʻpincha Evklid-Eyler teoremasi deb ataladi.

GIMPS taqsimlangan hisoblash loyihasi tomonidan olib borilgan toʻliq qidiruv shuni koʻrsatdiki, birinchi 48 ta mukammal son 2 p −1 (2 p) − 1) uchun

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 91, 992 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 (sequence[11]

Bundan tashqari, uchta yuqori mukammal sonlar topildi, ular uchun p = 74207281, 77232917 va 82589933. Garchi bu diapazonda boshqalar ham boʻlishi mumkin boʻlsa-da, GIMPS tomonidan oʻtkazilgan dastlabki, ammo toʻliq sinovlar 109332539 dan past boʻlgan p uchun boshqa mukammal raqamlarni aniqlamadi. -dekabr, 2018-yil(2018-12-00) holatiga koʻra , 51 Mersenne tub soni maʼlum,[12] va shuning uchun 51 juft mukammal sonlar (ularning eng kattasi 2 82589932 × (2 82589933) − 1) 49 724 095 ta raqam bilan). Cheksiz koʻp mukammal sonlar bormi yoki cheksiz koʻp Mersenne tub sonlari bormi nomaʼlum.

Shuningdek, 2 p −1 shakliga ega (2 p − 1), har bir juft mukammal son (2p − 1)th uchburchak soni (va shuning uchun 1 dan 2p − 1 gacha boʻlgan butun sonlar yigʻindisiga teng)2p − 1) va 2p−1th olti burchakli son. Bundan tashqari, 6 dan tashqari har bir juft mukammal son ((2p + 1)/3)th -nchi markazlashtirilgan nonagonal son va birinchi 2(p−1)/2 toq kublar (2(p+1)/2-1 kubgacha boʻlgan toq kublar) yigʻindisiga teng:

Juft mukammal sonlar (bundan mustasno 6) quyidagi shaklga ega:

har bir natijada uchburchak soni T7 = 28, T31 = 496, T127 = 8128 (mukammal sondan 1 ni ayirish va natijani 9 ga boʻlishdan keyin) 3 yoki 5 bilan tugaydi, ketma-ketlik T2 = 3, T10 = 55 bilan boshlanadi T10 = 55, T 42 = 903, T 2730 = 3727815, . . . Buni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: har qanday juft mukammal sonning raqamlarini qoʻshish ( 6), keyin olingan sonning raqamlarini qoʻshib, bitta raqam (raqamli ildiz deb ataladi) olinmaguncha bu jarayonni takrorlash har doim raqamni hosil qiladi. 1. Masalan, 8128 ning raqamli ildizi 1 ga teng, chunki 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, va 1 + 0 = 1. Bu barcha mukammal raqamlar bilan ishlaydi 2 p −1 (2 p − 1) toq tub p bilan va aslida 2 m −1 (2 m) koʻrinishdagi barcha sonlar bilan − 1) toq butun son uchun (asosiy boʻlishi shart emas) m .

Ularning shakli tufayli 2 p −1 (2 p − 1), har bir juft mukammal son ikkilik shaklda p birlikdan keyin ifodalanadi p − 1  nollar; masalan,

6 10 = 2 2 + 2 1 = 110 2 ,
28 10 = 2 4 + 2 3 + 2 2 = 11100 2 ,
496 10 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 = 111110000 2 va
8128 10 = 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 = 1111111000000 2 .

Shunday qilib, har bir juft mukammal son shunday koʻrinishga ega.

Har bir juft mukammal son shuningdek amaliy sondir.

Toq mukammal sonlar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  Turli natijalar olingan boʻlsa-da, toq mukammal raqamlar mavjudligi nomaʼlum. 1496-yilda Jak Lefevr Evklid qoidasi barcha mukammal sonlarni beradi[13], deb taʼkidladi, bu esa toq mukammal sonlar mavjud emasligini bildiradi. Eyler shunday dedi: „Boʻlmasa … har qanday toq mukammal raqamlar bor — bu eng qiyin savol.“ Yaqinda Karl Pomerans evristik argumentni taqdim etdi, bu haqiqatan ham toq mukammal son mavjud boʻlmasligi kerak. Barcha mukammal raqamlar ham Rudaning garmonik raqamlari boʻlib, 1 dan boshqa hech qanday toq maʼdan garmonik raqamlari yoʻq deb taxmin qilingan. Toq mukammal sonlar haqida isbotlangan koʻpgina xususiyatlar Dekart raqamlariga ham tegishli va Peys Nilsen bu raqamlarni etarli darajada oʻrganish toq mukammal raqamlar mavjud emasligini isbotlashga olib kelishi mumkinligini aytdi.[14]

Har qanday toq mukammal N soni quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

  • N > 10 1500 .
  • N N ≡ 1 (mod 12) yoki N ≡ 117 (mod 468) yoki N ≡ 81 (mod 324) shaklida.[15]
  • N shaklga ega
qayerda:
  • qp 1 , …, p k — alohida toq tub sonlar (Eyler).
  • q ≡ a ≡ 1 (mod 4) (Euler).
  • N ning eng kichik tub omili koʻpi bilan [16]
  • Yoki q a > 10 62 yoki p j 2 e j > 10 62 baʼzi j uchun.[17]
  • [18][19]
  • .[16][20]
  • .[21]
  • N ning eng katta tub omili 10 8[22] dan katta va undan kichik [23]
  • Ikkinchi eng katta tub omil 10 4 dan katta,[24] va undan kichik .[25]
  • Uchinchi eng katta asosiy omil 100 dan katta,[26] va undan kichik [27]
  • N kamida 101 ta tub omil va kamida 10 ta alohida tub omilga ega.[28] Agar 3 N ning omillaridan biri boʻlmasa, u holda N kamida 12 ta alohida tub omilga ega.[29]

Foydalanilgan adabiyotlar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  1. Caldwell, Chris, „A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime“.
  2. Dickson, L. E.. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington, 1919 — 4 bet. 
  3. „Perfect numbers“. www-groups.dcs.st-and.ac.uk. 2-noyabr 2017-yilda asl nusxadan arxivlandi. Qaraldi: 9-may 2018-yil.
  4. In Introduction to Arithmetic, Chapter 16, he says of perfect numbers, „There is a method of producing them, neat and unfailing, which neither passes by any of the perfect numbers nor fails to differentiate any of those that are not such, which is carried out in the following way.“ He then goes on to explain a procedure which is equivalent to finding a triangular number based on a Mersenne prime.
  5. Commentary on the Gospel of John 28.1.1-4, with further references in the Sources Chrétiennes edition: vol. 385, 58-61.
  6. Rogers, Justin M. (2015). "The Reception of Philonic Arithmological Exegesis in Didymus the Blind's Commentary on Genesis". http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05_philonic_arithmological_exegesis.pdf. 
  7. Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), pp. 328-329.
  8. Dickson, L. E.. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington, 1919 — 10 bet. 
  9. Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press, 2001 — 360 bet. ISBN 0-19-515799-0. 
  10. „Number of primes <= 43112609“. Wolfram Alpha. Qaraldi: 28-oktabr 2018-yil.
  11. GIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27
  12. „GIMPS Home“. Mersenne.org. Qaraldi: 21-iyul 2022-yil.
  13. Dickson, L. E.. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington, 1919 — 6 bet. 
  14. Nadis, Steve. „Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem“. Quanta Magazine (10-sentabr 2020-yil). Qaraldi: 10-sentabr 2020-yil.
  15. Roberts, T (2008). „On the Form of an Odd Perfect Number“ (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35-jild, № 4. 244-bet.
  16. 16,0 16,1 Zelinsky, Joshua (3–avgust 2021–yil). „On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number“ (PDF). Integers. 21-jild. Qaraldi: 7 August 2021.{{cite magazine}}: CS1 maint: date format ()
  17. Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). „Odd perfect numbers are greater than 101500 (PDF). Mathematics of Computation. 81-jild, № 279. 1869–1877-bet. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  18. Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). „Improved upper bounds for odd multiperfect numbers“. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89-jild, № 3. 353–359-bet. doi:10.1017/S0004972713000488.
  19. Nielsen, Pace P. (2003). „An upper bound for odd perfect numbers“. Integers. 3-jild. A14–A22-bet. Qaraldi: 23 March 2021.
  20. Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). „On the number of prime factors of an odd perfect number“. Mathematics of Computation. 83-jild, № 289. 2435–2439-bet. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  21. Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). „On the radical of a perfect number“. New York Journal of Mathematics. 16-jild. 23–30-bet. Qaraldi: 7 December 2018.
  22. Goto, T; Ohno, Y (2008). „Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 (PDF). Mathematics of Computation. 77-jild, № 263. 1859–1868-bet. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Qaraldi: 30 March 2011.
  23. Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). „On Prime Factors of Odd Perfect Numbers“. International Journal of Number Theory. 8-jild, № 6. 1537–1540-bet. doi:10.1142/S1793042112500935.
  24. Iannucci, DE (1999). „The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand“ (PDF). Mathematics of Computation. 68-jild, № 228. 1749–1760-bet. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Qaraldi: 30 March 2011.
  25. Zelinsky, Joshua (2019-yil iyul). „Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number“. International Journal of Number Theory. 15-jild, № 6. 1183–1189-bet. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. {{cite magazine}}: sana kiritilishi kerak boʻlgan parametrga berilgan qiymatni tekshirish lozim: |date= (yordam).
  26. Iannucci, DE (2000). „The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred“ (PDF). Mathematics of Computation. 69-jild, № 230. 867–879-bet. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Qaraldi: 30 March 2011.
  27. Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23–noyabr 2021–yil). „On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number“ (PDF). Integers. 21-jild. Qaraldi: 6 December 2021.{{cite magazine}}: CS1 maint: date format ()
  28. Nielsen, Pace P. (2015). „Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds“ (PDF). Mathematics of Computation. 84-jild, № 295. 2549–2567-bet. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Qaraldi: 13 August 2015.
  29. Nielsen, Pace P. (2007). „Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors“ (PDF). Mathematics of Computation. 76-jild, № 260. 2109–2126-bet. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. Qaraldi: 30 March 2011.