Helmgolts teoremasi (klassik mexanika)

Klassik mexanikaning Helmgolts teoremasi quyidagicha:

$$H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)$$

bir oʻlchovli tizimning Gamiltoniani boʻlsin, bu yerda

$$K={\frac {p^{2}}{2m}}$$

kinetik energiya va

$$\varphi (x;V)$$

parametrga bogʻliq boʻlgan $V$ „U-shaklidagi“ potensial energiya profilidir.

Mayli $\left\langle \cdot \right\rangle _{t}$ oʻrtacha vaqtni bildirsin. Shunda

• $E=K+\varphi ,$
• $T=2\left\langle K\right\rangle _{t},$
• $P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},$
• $S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.$

Keyin

$$dS={\frac {dE+PdV}{T}}.$$

Izohlar Klassik mexanikaning ushbu teoremasining tezislari aynan termodinamikaning issiqlik teoremasi kabi oʻqiladi. Bu fakt maʼlum mexanik miqdorlar oʻrtasida termodinamikga oʻxshash munosabatlar mavjudligini koʻrsatadi. Bu oʻz navbatida bir oʻlchovli mexanik tizimning „termodinamik holatini“ aniqlash imkonini beradi. Xususan, harorat $T$ kinetik energiyaning oʻrtacha vaqt va entropiya bilan berilgan $S$ harakatning logarifmi boʻyicha (yaʼni, ${\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}$).

Muvozanat termodinamikasining mexanik asosini taʼminlash uchun uni makroskopik tizimlarga (yaʼni koʻp oʻlchovli tizimlarga) qanday qoʻllashni koʻrgan Lyudvig Boltsman bu teoremaning ahamiyatini tan oldi. Ushbu tadqiqot faoliyati uning ergodik gipotezasini shakllantirishi bilan chambarchas bogʻliq edi. Jorj Devid Birxoffning ergodik teoremasiga asoslangan Helmgolts teoremasining koʻp oʻlchovli versiyasi umumlashtirilgan Helmgolts teoremasi deb nomlanadi.

Manbalar

• Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik, 97, 111–140 (also in Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 142–162, 179–202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Helmholtz, H., von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, I, 159–177 (also in Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 163–178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme.Crelles Journal, 98: 68–94 (also in Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3,pp. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.). Leipzig. Reissued New York: Chelsea, 1969).
• Gallavotti, G. (1999). Statistical mechanics: A short treatise. Berlin: Springer.
• Campisi, M. (2005) On the mechanical foundations of thermodynamics: The generalized Helmholtz theorem Studies in History and Philosophy of Modern Physics 36: 275–290