Hannay burchagi

Klassik mexanikada Hannay burchagi aylanma geometrik fazaning (yoki Berry fazasining) mexanik analogidir. U Buyuk Britaniyaning Bristol universitetidan Jon Hannay sharafiga nomlangan. Xannay birinchi marta 1985 yilda burchakni tasvirlab, yaqinda rasmiylashtirilgan Berry bosqichi gʻoyalarini klassik mexanikaga kengaytirdi.

Klassik mexanikada Hannay burchagi

Hannay burchagi harakat-burchak koordinatalari kontekstida aniqlanadi. Dastlab vaqt oʻzgarmaydigan tizimda harakat oʻzgaruvchisi $I_{\alpha }$ doimiy hisoblanadi. Vaqti-vaqti bilan bezovtalanishni kiritgandan soʻng $\lambda (t)$, harakat oʻzgaruvchisi $I_{\alpha }$ adiabatik invariantga aylanadi va Hannay burchagi $\theta _{\alpha }^{H}$ uning mos burchak oʻzgaruvchisi uchun buzilish sodir boʻlgan evolyutsiyani ifodalovchi yoʻl integraliga koʻra hisoblanishi mumkin. $\lambda (t)$ asl qiymatiga qaytadi:

$$\theta _{\alpha }^{H}=-{\frac {\partial }{\partial I_{\alpha }}}\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {q}}}{\partial \lambda }}\mathrm {d} \lambda$$

bu yerda ${\boldsymbol {p}}$ va ${\boldsymbol {q}}$ Gamiltonianning kanonik oʻzgaruvchilari .

Misol

Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan Berri fazasini tasvirlash uchun ham ishlatiladi. Quyida biz harakat burchagi oʻzgaruvchilari yordamida Fuko mayatnikini oʻrganamiz. Oddiylik uchun biz umumiy protokolda qoʻllaniladigan Gamilton-Jakobi tenglamasidan foydalanmaymiz.

Biz chastotali tekislik mayatnikini koʻrib chiqamiz $\omega$ burchak tezligi boʻlgan Yerning aylanishi taʼsirida ${\vec {\Omega }}=(\Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z})$ sifatida belgilangan amplituda bilan $\Omega =|{\vec {\Omega }}|$ . Mana, $z$ yoʻnalishi Yerning markazidan mayatnikgacha. Mayatnik uchun Lagrangian:

$$L={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+m\Omega _{z}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})$$

Tegishli harakat tenglamasi

$${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=2\Omega _{z}{\dot {y}}$$

$${\ddot {y}}+\omega ^{2}y=-2\Omega _{z}{\dot {x}}$$

Keyin yordamchi oʻzgaruvchini kiritamiz $\varpi =x+iy$ bu aslida burchak oʻzgaruvchisi. Endi biz uchun tenglama mavjud $\varpi$ :

$${\ddot {\varpi }}+\omega ^{2}\varpi =-2i\Omega _{z}{\dot {\varpi }}$$

Uning xarakteristik tenglamasidan

$$\lambda ^{2}+\omega ^{2}=-2i\Omega _{z}\lambda$$

biz uning xarakterli ildizini olamiz (biz shuni taʼkidlaymiz $\Omega \ll \omega$)

$$\lambda =-i\Omega _{z}\pm i{\sqrt {\Omega _{z}^{2}+\omega ^{2}}}\approx -i\Omega _{z}\pm i\omega$$

Yechim shundan keyin

$$\varpi =e^{-i\Omega _{z}t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$$

Yer bir toʻliq aylanishdan keyin, yaʼni $T=2\pi /\Omega \approx 24h$, biz uchun faza oʻzgarishi bor $\varpi$

$$\Delta \varphi =2\pi {\frac {\omega }{\Omega }}+2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}$$

Birinchi atama mayatnikning dinamik taʼsiriga bogʻliq boʻlib, dinamik faza deb ataladi, ikkinchisi esa Hannay burchagi boʻlgan geometrik fazani ifodalaydi.

$$\theta ^{H}=2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}$$

Manbalar

• Hannay John H. 1985 Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian J. Phys. A: Math. Gen. 18 221-30.
• Marsden, Jerrold E.; Montgomery, Richard; Ratiu, Tudor S.. Reduction, Symmetry, and Phases in Mechanics. AMS Bookstore, 1990 — 69 bet. ISBN 0-8218-2498-8. 
• C. Pisani. Quantum-mechanical Ab-initio Calculation of the Properties of Crystalline Materials, Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society, Springer, 1994 — 282 bet. ISBN 3-540-61645-4. 
• ; Jean-Marc Triscone; Charles H AhnPhysics of Ferroelectrics: a Modern Perspective. Springer, 2007 — 2 bet. ISBN 978-3-540-34590-9. 

Havolalar

• Professor John H. Hannay: Research Highlights. Department of Physics, University of Bristol.