Gaussning eng kam cheklash prinsipi

Karl Fridrix Gauss

Eng kam cheklash prinsipi 1829 yilda Karl Fridrix Gauss tomonidan taʼkidlangan klassik mexanikaning bir variatsion formulasi boʻlib, analitik mexanikaning barcha boshqa formulalariga tengdir. Intuitiv ravishda, u cheklangan jismoniy tizimning tezlashishi mos keladigan cheklanmagan tizimning tezlashishiga imkon qadar oʻxshashligini aytadi.

Bayonot

Eng kam cheklash prinsipi eng kichik kvadratlar prinsipi boʻlib, mexanik tizimning haqiqiy tezlanishini koʻrsatadi. $n$ massalar miqdorning minimalidir:

$Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}$

bu yerda j zarracha massaga ega $m_{j}$, pozitsiya vektori $\mathbf {r} _{j}$, va cheklanmagan kuch qoʻllaniladi $\mathbf {F} _{j}$ massaga taʼsir qiladi.

Belgilash ${\dot {\mathbf {r} }}$ vektor funksiyaning vaqt hosilasini koʻrsatadi $\mathbf {r} (t)$, yaʼni pozitsiya. Tegishli tezlanishlar ${\ddot {\mathbf {r} }}_{j}$ umuman tizimning joriy $\{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}$ holatiga bogʻliq boʻlgan cheklovlarni qondirish;

Faolligi tufayli esga olinadi $\mathbf {F} _{j}$ va reaktiv (cheklov) $\mathbf {F_{c}} _{j}$ qoʻllaniladigan kuchlar, natijada ${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$, tizim tezlashuvni boshdan kechiradi ${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$ .

Boshqa formulalar bilan bogʻlanish

Gauss prinsipi D’Alember prinsipiga teng.

Eng kam cheklash prinsipi Gamilton prinsipiga sifat jihatidan oʻxshash boʻlib, u mexanik tizim tomonidan bosib oʻtilgan haqiqiy yoʻl harakatning ekstremumi ekanligini aytadi. Biroq, Gauss prinsipi haqiqiy (mahalliy) minimal prinsipdir, ikkinchisi esa ekstremal prinsipdir.

Gertsning eng kam egrilik prinsipi

Geynrix Gerts

Hertzning eng kam egrilik prinsipi Gauss prinsipining alohida holati boʻlib, tashqi qoʻllaniladigan kuchlar, oʻzaro taʼsirlar (odatda potensial energiya sifatida ifodalanishi mumkin) va barcha massalar teng boʻlgan ikkita shart bilan cheklangan. Umumiylikni yoʻqotmasdan, massalar birga teng boʻlishi mumkin. Bunday sharoitda Gaussning minimallashtirilgan miqdori yozilishi mumkin:

$Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Kinetik energiya $T$ bu sharoitda ham saqlanib qoladi:

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Chiziq elementidan $ds^{2}$ beri ichida $3N$ -koordinatalarning oʻlchovli fazosi aniqlangan

$ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}$

energiyaning saqlanishi ham yozilishi mumkin:

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T$

$Z$ tomonidan boʻlinish $2T$ va boshqa minimal miqdorni beradi:

$K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}$

beri ${\sqrt {K}}$ da traektoriyaning mahalliy egriligidir $3n$ -koordinatalarning oʻlchovli fazosi, minimallashtirish $K$ cheklovlarga mos keladigan eng kam egrilik (geodezik) traektoriyasini topishga teng.

Hertz prinsipi, shuningdek, Yakobining eng kam taʼsir prinsipini shakllantirishining alohida holatidir.

Manbalar

• Gauss, C. F. (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". Crelle's Journal 1829 (4): 232–235. doi:10.1515/crll.1829.4.232. https://zenodo.org/record/1448816. 
• Gauss, C. F.. Werke — 23 bet. 
• Hertz, H.. Principles of Mechanics, Miscellaneous Papers. Macmillan, 1896. 
• Lanczos, Cornelius „IV §8 Gauss's principle of least constraint“,. The variational principles of mechanics, Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986 — 106–110 bet. ISBN 978-0-486-65067-8. 
• Papastavridis, John G. „6.6 The Principle of Gauss (extensive treatment)“,. Analytical mechanics: A comprehensive treatise on the dynamics of constrained systems, Reprint, Singapore, Hackensack NJ, London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2014 — 911–930 bet. ISBN 978-981-4338-71-4.