Uchburchak

Uchburchak geometrik figuralardan biri boʻlib, bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va shu nuqtalarni ketma-ket tutashtirishdan hosil boʻlgan figura. Nuqtalar uchburchakning uchlari, kesmalar esa uning tomonlari hisoblanadi. Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish bilan belgilanadi. ”Uchburchak” soʻzi oʻrniga baʼzan belgidan foydalaniladi.

ABC

Uchburchak turlari

Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:

• Teng tomonli uchburchak — uchala tomon uzunliklari teng boʻlgan uchurchak. Uning hamma ichki burchaklari teng yani, 60°.
• Teng yonli uchburchak — tomonlaridan ikkitasi teng boʻlgan uchburchak. Teng tomonlari qarshisidagi burchaklari ham oʻzaro teng.
• Turli tomonli uchburchak — uchala tomoni uzunliklari turlicha boʻlgan uchburchak. Ularning burchaklari ham turlicha.

Teng tomonli	Teng yonli	Turli tomonli

Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:

• To'g'ri burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90° boʻlgan uchburchak.Toʻgʻri burchakli uchburchakning toʻgʻri burchagi qarshisida yotuvchi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni katetlari deb ataladi.
• O’tmas burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan katta (o’tmas burchak) boʻlgan uchburchak.
• O’tkir burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan kichkina (o’tkir burchak) boʻlgan uchburchak.

Asosiy xossalari

Tashqi d burchagi ko'rsatilgan uchburchak

Uchburchak ichki burchaklari 180° ga teng(bir xil rangdagilari o'zaro teng)

• uchburchak ichki burchaklari yig’indini 180° ga teng;
• uchburchakning tashqi burchagi o’ziga qo’shni bo’lmagan ikkita ichki burchaklar yig’indisiga teng;
• hamma ko’pburchaklar singari, uchburchak tashqi burchaklari yig’indisi 360°ga teng;
• uchburchakning ixtiyoriy ikkita tomoni yig’indisi doim uchunchi tomondan katta bo’ladi:a+b>c, a+c>b, b+c>a

Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi to’g’ri burchakli uchburchakka oid bo’li, to’g’ri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yig’indisiga teng.Katetlarining uzunligi a va b, gipotenuzasi uzunligi c bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak berilgan bo’lsin, u holda Pifagor teoremasi:$a^2 + b^2 = c^2\,$ formula bilan ifodalanadi. To’g’ri burchakli uchburchakning asosiy xossalari:

• to’g’ri burchakli uchburchakning o’tkir burchaklari yig’indisi 90° ga teng bo’lib, ular bir-birini o’rnini to’ldiradi;
• agar to’g’ri burchakli uchburchakning katetlari teng bo’lsa katetlari qarshisidagi burchaklari 45° dan va Pifagor teoremasiga ko’ra gipotenuzasi quyidagi formula yordamida topiladi:c=√2a;
• burchaklari o’zaro 30° va 60° dan iborat to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kichik burchak qarshisidagi katetning ikkilanganiga teng:$c=2b$;
• barcha to’g’ri burchakli uchburchakda, gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng :$m_c=c/2$.

Uchburchak yuzini hisoblash

Uchburchak yuzini hisoblashni bir necha usulllari bo’lib. Bularni ichida eng soddasi ushbu formula bilan hisoblanadi: :$\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh_b$

Bu yerda S – uchburchak yuzi, b – uchburchak asosi(uchburchak tomoni), $h_b$– asosga tushirilgan balandlik. Biz bu formulani faqatgina balandlik va asosi aniq bo’lganda qo’llashimiz mumkin.

Geron formulasi yordamida hisoblash

Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Biz Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq bo’lgandagina foydalanishimiz mumkin. Geron formulasi:

:$\mathrm{S} =  \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Bu yerda $p=\frac{a+b+c}{2}$ ga teng yoki uchburchak peremetrini yarmi deb olsak ham bo’ladi, $a,b,c$ – uchburchak tomonlari uzunligi.

Geron formulasi yozilishini yana 2 ta ekvivalent yo’li bor:

$\mathrm{S} = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$\mathrm{S} = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$\mathrm{S} = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.$

Burchak sinusi yordamida hisoblash

Tomonlari a, b, c va burchaklari α, β, γ bo'lgan uchburchak.

Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi bo’yicha hisoblash mumkin. Ya’ni quyidagi formula orqali: $\mathrm{S} = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta$. Bu yerda a,b,c – uchburchak tonomlari, α,β,γ – uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.

Medianalar orqali hisoblash

Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ham aniq bo’lganda biz quyidagi formula orqali uchburchak yuzini hisoblaymiz:

$\mathrm{S} = \frac{4}{3} \sqrt{m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$

Bu yerda $m=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}$, $m_a,m_b,m_c$ - tomonlariga tushirilgan mediana uzunligi.

Uchburchaklarning tengsizligi

Uchburchak tomonlarini ixtiyoriy belgilab bo`lmaydi. Ular quyidagi tengsizliklar bilan bog`langan (a, b, c uchburchak tomonlari):

• $a<b+c$
• $b<c+a$
• $c<a+b$

Yuqoridagi tengsizliklardan birortasi bajarilmagan holatda esa, uchburchak chala deb ataladi.

Uchburchaklar tengligi alomatlari

Uchburchaklar elementlarining quyidagi uchta alomatlariga asoslanib teng uchburchaklar hisoblanadi:

• a, b, c (uchala tomonlarining tengligi);
• a, b, γ (ikki tomonlari va ular orasidagi burchak tengligi);
• a, β, γ (bir tomoni va unda yotgan burchaklari tengligi).

O'xshash uchburchaklar

O’xshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional bo’ladi. Ikki o’xshash uchburchak yuzlari nisbati o’xshashlik koeffitsentining kvadratida teng.

Uchburchak o'xshashligining alomatlari:

• Teorema ( Uchburchak o’xshahsligining BB alomati):Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga mos ravishda teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.
• Teorema (Uchburchak o’xshashligining TBT alomati):Aga bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional va bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.
• Teorema (Uchburchaklar o’xshashligining TTT alomati):Agar bir uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda proporsional bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.

Ishoratlar

• Uchburchak formulalari - Geometry Atlas.
• Uchburchak kalkulyatori- uchburchakning uchta tomoni va burchagi berilganda, qolgan burchak va tomonlarini hisoblaydi.

Toʻgʻri burchakli	Oʻtmas burchakli	Oʻtkir burchakli