Uchburchak
Uchburchak geometrik figuralardan biri boʻlib, bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va shu nuqtalarni ketma-ket tutashtirishdan hosil boʻlgan figura. Nuqtalar uchburchakning uchlari, kesmalar esa uning tomonlari hisoblanadi. Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish bilan belgilanadi. ”Uchburchak” soʻzi oʻrniga baʼzan
belgidan foydalaniladi.
Mundarija |
[tahrir] Uchburchak turlari
Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:
- Teng tomonli uchburchak — uchala tomon uzunliklari teng boʻlgan uchurchak. Uning hamma ichki burchaklari teng yani, 60°.
- Teng yonli uchburchak — tomonlaridan ikkitasi teng boʻlgan uchburchak. Teng tomonlari qarshisidagi burchaklari ham oʻzaro teng.
- Turli tomonli uchburchak — uchala tomoni uzunliklari turlicha boʻlgan uchburchak. Ularning burchaklari ham turlicha.
| Teng tomonli | Teng yonli | Turli tomonli |
Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:
- To'g'ri burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90° boʻlgan uchburchak.Toʻgʻri burchakli uchburchakning toʻgʻri burchagi qarshisida yotuvchi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni katetlari deb ataladi.
- O’tmas burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan katta (o’tmas burchak) boʻlgan uchburchak.
- O’tkir burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan kichkina (o’tkir burchak) boʻlgan uchburchak.
[tahrir] Asosiy xossalari
- uchburchak ichki burchaklari yig’indini 180° ga teng;
- uchburchakning tashqi burchagi o’ziga qo’shni bo’lmagan ikkita ichki burchaklar yig’indisiga teng;
- hamma ko’pburchaklar singari, uchburchak tashqi burchaklari yig’indisi 360°ga teng;
- uchburchakning ixtiyoriy ikkita tomoni yig’indisi doim uchunchi tomondan katta bo’ladi:a+b>c, a+c>b, b+c>a
Pifagor teoremasi to’g’ri burchakli uchburchakka oid bo’li, to’g’ri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yig’indisiga teng.Katetlarining uzunligi a va b, gipotenuzasi uzunligi c bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak berilgan bo’lsin, u holda Pifagor teoremasi:
formula bilan ifodalanadi. To’g’ri burchakli uchburchakning asosiy xossalari:
- to’g’ri burchakli uchburchakning o’tkir burchaklari yig’indisi 90° ga teng bo’lib, ular bir-birini o’rnini to’ldiradi;
- agar to’g’ri burchakli uchburchakning katetlari teng bo’lsa katetlari qarshisidagi burchaklari 45° dan va Pifagor teoremasiga ko’ra gipotenuzasi quyidagi formula yordamida topiladi:c=√2a;
- burchaklari o’zaro 30° va 60° dan iborat to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kichik burchak qarshisidagi katetning ikkilanganiga teng:
; - barcha to’g’ri burchakli uchburchakda, gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng :
.
[tahrir] Uchburchak yuzini hisoblash
Uchburchak yuzini hisoblashni bir necha usulllari bo’lib. Bularni ichida eng soddasi ushbu formula bilan hisoblanadi: :
Bu yerda S – uchburchak yuzi, b – uchburchak asosi(uchburchak tomoni),
– asosga tushirilgan balandlik. Biz bu formulani faqatgina balandlik va asosi aniq bo’lganda qo’llashimiz mumkin.
[tahrir] Geron formulasi yordamida hisoblash
Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Biz Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq bo’lgandagina foydalanishimiz mumkin. Geron formulasi:
:![]()
Bu yerda
ga teng yoki uchburchak peremetrini yarmi deb olsak ham bo’ladi,
– uchburchak tomonlari uzunligi.
Geron formulasi yozilishini yana 2 ta ekvivalent yo’li bor:
[tahrir] Burchak sinusi yordamida hisoblash
Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi bo’yicha hisoblash mumkin. Ya’ni quyidagi formula orqali:
. Bu yerda a,b,c – uchburchak tonomlari, α,β,γ – uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.
[tahrir] Medianalar orqali hisoblash
Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ham aniq bo’lganda biz quyidagi formula orqali uchburchak yuzini hisoblaymiz:
Bu yerda
,
- tomonlariga tushirilgan mediana uzunligi.
[tahrir] Uchburchaklarning tengsizligi
Uchburchak tomonlarini ixtiyoriy belgilab bo`lmaydi. Ular quyidagi tengsizliklar bilan bog`langan (a, b, c uchburchak tomonlari):
Yuqoridagi tengsizliklardan birortasi bajarilmagan holatda esa, uchburchak chala deb ataladi.
[tahrir] Uchburchaklar tengligi alomatlari
Uchburchaklar elementlarining quyidagi uchta alomatlariga asoslanib teng uchburchaklar hisoblanadi:
- a, b, c (uchala tomonlarining tengligi);
- a, b, γ (ikki tomonlari va ular orasidagi burchak tengligi);
- a, β, γ (bir tomoni va unda yotgan burchaklari tengligi).
[tahrir] O'xshash uchburchaklar
O’xshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional bo’ladi. Ikki o’xshash uchburchak yuzlari nisbati o’xshashlik koeffitsentining kvadratida teng.
Uchburchak o'xshashligining alomatlari:
- Teorema ( Uchburchak o’xshahsligining BB alomati):Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga mos ravishda teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.
- Teorema (Uchburchak o’xshashligining TBT alomati):Aga bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional va bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.
- Teorema (Uchburchaklar o’xshashligining TTT alomati):Agar bir uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda proporsional bo’lsa, bunday uchburchaklar o’xshash bo’ladi.
[tahrir] Ishoratlar
- Uchburchak formulalari - Geometry Atlas.
- Uchburchak kalkulyatori- uchburchakning uchta tomoni va burchagi berilganda, qolgan burchak va tomonlarini hisoblaydi.
| Toʻgʻri burchakli | Oʻtmas burchakli | Oʻtkir burchakli |
;
.






