Nurlanish chizig'ining tabiiy kengligi

Nurlanish chizigʻining tabiiy kengligi nurlanish reaksiyasining nurlanish maydoniga taʼsiri tufayli yuzaga keladi.

Nurlanish chizigʻining tabiiy kengligini oʻrganish uchun bir oʻlchamli ossilyator masalasini yechish kerak boʻladi.

Harakat tenglamasi va uning yechimi

Zaryadning harakat tenglamasi uchun quyidagi ifodani yozish mumkin:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x-{\dfrac {F_{s}}{m}}=0,\ \ \ \ \ \ (1)$

Bu yerda reaksiya kuchining oʻrniga quyidagi ifodani qoʻyish mumkin:

$F_{s}={\dfrac {2}{3}}{e^{2}}{c^{3}}{\dot {a}}$

U holda (1) ifoda quyidagi koʻrinishga keladi:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x-{\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}}{mc^{3}}}{\dot {a}}=0,\ \ \ \ \ \ (2)$

$\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$ — zaryadning erkin tebranish chastotasi.

Reaksiya kuchi garmonik kuchdan juda kichik boʻlgani uchun zaryadning tezlanishini erkin tebranma harakatdagi tezlanishga taqriban teng deb olish mumkin, u holda

$a={\ddot {x}}\simeq -\omega _{0}^{2}x,\ \ \ {\dot {a}}\simeq -\omega _{0}^{2}{\dot {x}},\ \ \ \ \ \ (3)$

Bunga asosan, (2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

${\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,\ \ \ \ \ \ (4)$

bu yerda

$\gamma ={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}\omega _{0}^{2}}{mc^{3}}},\ \ \ \ \ \ \gamma \ll \omega _{0},\ \ \ \ \ \ (5)$

Bunda yoʻl qoʻyilgan xatolik $\gamma ^{2}/\omega _{0}^{2}$ tartibida boʻladi[1].

(4) tenglama yechimi koʻrilayotgan aniqlikda yozilishi mumkin:

$x=x_{0}e^{-\gamma t/2}e^{i\omega _{0}t},\ \ \ \ \ \ (6)$

Bu ifodadan koʻramizki, nurlanish reaksiyasi taʼsirida ossilyatorning tebranish amplitudasi eksponensial ravishda kamayib boradi, yaʼni zaryad so'nuvchi tebranma harakat bajaradi. So]nish koeffitsiyenti $\gamma$ ga teng.

Maʼlumki, ossilyatorning nurlanish intensivligi zarraning tezlanishi bilan aniqlanadi. Shuning uchun (6) dan ikki marta hosila olib tezlanishni aniqlaymiz:

$a={\ddot {x}}=a_{0}e^{-\gamma t/2}e^{i\omega _{0}t},\ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

Bu yerda $a_{0}$ oʻzgarmas kattalik boʻlib, koʻrilayotgan aniqlikda $a_{0}=-x_{0}\omega _{0}^{2}$.

Soʻnuvchi ossilyatorning tezlanishi vaqtning garmonik funksiyasi boʻlmaganligi uchun, nurlanish aniq chastotaga ega boʻlmaydi. Aksincha, u $0\leq \omega <\infty$ oraligʻidagi barcha chastotalarga nurlanadi. Demak, soʻnuvchi ossilyatorning nurlanish spektri uzluksiz ekan.

Nurlanish intensivligining chastotalar boʻyicha taqisimoti

Nurlanish spektri uzluksiz boʻlgan holda, nurlanish intensivligining chastotalar boʻyicha taqsimoti ($\omega ,\ \omega +d\omega$ chastotalar oraligʻiga toʻgʻri keluvchi nurlanish energiyasi) muhim kattalik hisoblanadi.

Barcha chastotalardagi nurlanish toʻliq energiyasi $I_{0}$ quyidagicha aniqlanadi:

$I_{0}=\int \limits _{0}^{\infty }I(\omega )d\omega ,\ \ \ \ \ \ \ \ (8)$

Bu yerda $I(\omega )$ spektral funksiya nurlanish chizigʻi deb yuritiladi.

Ikkinchi tomondan nurlanish toʻliq energiyasi $0\leq t<\infty$ vaqt oraligʻidagi nurlanish energiyalarining yigʻindisiga teng boʻladi:

$I_{0}=\int \limits _{0}^{\infty }I(t)dt={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}}{c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }a^{2}dt,\ \ \ \ \ \ (9)$

$-\infty <t<\infty$ vaqt oraligʻidagi nurlanish boʻlmaganligi uchun (a=0) bu yerda integralni $-\infty <t<\infty$ oraligʻida olish mumkin:

$I_{0}={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}}{c^{3}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }a^{2}dt,\ \ \ \ \ \ (10)$

Bu ifodani (8) bilan bogʻlash tezlanishni Furye integraliga yoyamiz[1]:

$a(t)={\dfrac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }a(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,\ \ \ \ \ \ \ \ (11)$

(7) ifodani inobatga olib tezlanishning Furye amplitudasini hisoblaymiz:

$a(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }a(t)e^{-i\omega t}dt=\int \limits _{0}^{\infty }a(t)e^{-i\omega t}dt={\dfrac {a_{0}}{{\dfrac {\gamma }{2}}-i(\omega _{0}-\omega )}},\ \ \ \ \ \ \ \ (12)$

Endi Plansheral formulasiga asosan quyidagi tengliklarni hosil qilish mumkin:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }a^{2}dt={\dfrac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }|a(\omega )|^{2}d\omega ={\dfrac {a_{0}^{2}}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\dfrac {d\omega }{{\dfrac {\gamma ^{2}}{4}}+(\omega _{0}-\omega )^{2}}}={\dfrac {a_{0}^{2}}{\gamma }},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (13)$

Ushbu natijani (10) ga qoʻyamiz:

$I_{0}={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}}{c^{3}}}{\dfrac {a_{0}^{2}}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\dfrac {d\omega }{{\dfrac {\gamma ^{2}}{4}}+(\omega _{0}-\omega )^{2}}}={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}}{c^{3}}}{\dfrac {a_{0}^{2}}{\gamma }},\ \ \ \ \ \ \ (14)$

bu yerdan

$a_{0}^{2}={\dfrac {3c^{3}\gamma }{2e^{2}}}I_{0},\ \ \ \ \ \ \ \ (15)$

(14) va (8) ifodalarni taqqoslab, quyidagini topamiz:

$I(\omega )={\dfrac {I_{0}}{2\pi }}\cdot {\dfrac {\gamma }{(\omega _{0}-\omega )^{2}+{\dfrac {\gamma ^{2}}{4}}}},\ \ \ \ \ \ \ \ (16)$

Bu yerda spektral taqsimot faqat musbat chastotalar uchun aniqlanganligini unutmaslik kerak. Bu ifodadan koʻrinadiki, birinchidan, nurlanish spektri uzluksiz, ikkinchidan $\omega =\omega _{0}$ chastotada nurlanishning spektral taqsimoti keskin maksimumga ega, yaʼni

$I(\omega _{0})={\dfrac {2I_{0}}{\pi \gamma }},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (17)$

Nurlanish intensivligi $\omega =\omega _{0}\pm \gamma /2$ chastotada $\omega =\omega _{0}$ dagi qiymatidan ikki marta kichik ekanligini koʻrish mumkin:

$I\left(\omega _{0}\pm {\dfrac {\gamma }{2}}\right)={\dfrac {I(\omega _{0})}{2}}={\dfrac {I_{0}}{\pi \gamma }},\ \ \ \ \ \ \ (18)$

Shuning uchun $\gamma /2$ nurlanish chizigʻining yarim kengligi deyiladi. $\Delta \omega =\gamma$ nurlanish chizigʻining tabiiy kengligi yoki radiatsion kenglik deb ataladi[1].

Spektral chiziq tabiiy kengligini toʻlqin uzunlik orqali ifodalash

Spektral chiziqning tabiiy kengligini toʻlqin uzunlik orqali ifodalash mumkin. $\lambda =2\pi c/\omega$ boʻlganligi uchun $\Delta \omega =\gamma$ ga mos toʻlqin uzunliklar oraligʻi

$|\Delta \lambda |={\dfrac {2\pi c\Delta \omega }{\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {2\pi c}{\omega _{0}^{2}}}\gamma ={\dfrac {4\pi }{3}}{\dfrac {e^{2}}{mc^{2}}}={\dfrac {4\pi }{3}}r_{0}$

Bundan koʻrinadiki, $\Delta \omega$ dan farqli ravishda $\Delta \lambda$ toʻlqin uzunligi (chastota)ga bogʻliq boʻlmasdan elektronning klassik radiusi $r_{0}$ bilan aniqlanadi.

Eksperimentlarda kuzatiladigan spektral chiziqning kengligi uning tabiiy kengligidan ancha katta bo‘ladi. Masala shundaki, ossilyatorning garmonik tebranishining har qanday buzilishi spektral chiziqning kengayishiga sababchi bo‘ladi. Nurlanish reaksiyasi ana shunday omillarning biridir. Nurlanuvchi zarrachalarning o‘zaro hamda sistemadagi boshqa zarrachalar bilan to‘qnashuvi yoki Doppler effekti ana shu kengaytiruvchi omillarga kiradi.

$\gamma \rightarrow 0$ da spektral taqsimot (16) erkin tebranayotgan garmonik ossilyatorning nurlanish spektral taqsimotiga oʻtadi, yaʼni

$I(\omega )=I_{0}\delta (\omega -\omega _{0}),\ \ \ \ \ \ (19)$

Bu monoxromatik nurlanishning spektral taqsimot funksiyasidir.

Shuningdek qarang

• Kvadrupol nurlanishi
• Dipol nurlanishi
• Elektromagnit to'lqinlarning zaryadlarda sochilishi

Manbalar

1. A. A. Abdumalikov, Elektrodinamika, Toshkent. 2011