Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllaniladi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.

Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).

Idempotentlar va parchalanishlar

Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$, keyin, har biri uchun $i\in I$, chiziqli endomorfizm $e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M$ tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir ($e_{i}e_{j}=0$ uchun $i\neq j$) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:

$1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}$

endomorfizmlar sifatida (bu erda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami $\{e_{i}\}_{i\in I}$ Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp $e_{i}(x)$ har biri uchun nolga teng $x\in M$ va $\sum e_{i}=1_{M}$ olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi $M_{i}$ tasvirlari boʻlish $e_{i}$ ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan $R$, dekompozitsiya bor deylik

${}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}$

$R$ ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda $I_{a}$ chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm ${}_{R}R\to {}_{R}R$ R elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, $I_{a}=Re_{a}$ qayerda $e_{a}$ ning idempotentlari hisoblanadi $\operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R$ .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi R birligining parchalanishiga mos keladi: ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$, bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa, $A$ chekli toʻplam boʻlishi kerak.

Masalan, $R=\operatorname {M} _{n}(D)$, boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin ${}_{R}R$ n nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir $D^{n}$, ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal.

R halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

${}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$

ikki tomonlama ideallarga aylanadi $R_{i}$ ning R . Yuqoridagi kabi, $R_{i}=Re_{i}$ baʼzi ortogonal idempotentlar uchun $e_{i}$ shu kabi $\textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}$ . beri $R_{i}$ idealdir, $e_{i}R\subset R_{i}$ va hokazo $e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0$ uchun $i\neq j$ . Keyin, har bir i uchun,

$e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.$

Yaʼni, $e_{i}$ markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri $R_{i}$ oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik $e_{i}$ va halqa sifatida R mahsulot halqasidir $R_{1}\times \cdots \times R_{n}.$

Masalan, yana oling $R=\operatorname {M} _{n}(D)$ . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

Parchalanish turlari

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:

• Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
• Ajralmaydigan parchalanish : parchalanmaydigan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
• Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar boʻlgan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (har bir x element uchun x yoki 1 — x birlik boʻlsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
• Ketma-ket parchalanish : bir seriyali modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir boʻlsa, modul bir qatorli hisoblanadi) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish $\textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ Agar M ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi L uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi deyiladi. $J\subset I$ shu kabi

$M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.$.

Ikki parchalanish $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}$ bijection mavjud boʻlsa, ekvivalent deyiladi $\varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J$ har biri uchun shunday $i\in I$, $M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}$ .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi.

Azumaya teoremasi

Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi.Sunday parchalanish berilgan $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi $M_{i}$ mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar $M=N\oplus K$, keyin

1. agar nol boʻlmasa, N ajralmaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindini oʻz ichiga oladi,
2. agar $N$ ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy va $K$ berilgan parchalanish bilan toʻldiriladi:

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ va hokazo $M_{j}\simeq N$ baʼzilar uchun $j\in I$ ,

3. Har biriga $i\in I$, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar mavjud $N'$ ning $N$ va $K'$ ning $K$ shu kabi $M=M_{i}\oplus N'\oplus K'$ .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllaniladi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday $m=n$ va $M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}$ baʼzi almashtirish uchun $\sigma$ ning $\{1,\dots ,n\}$ . Aniqrogʻi, beri $N_{1}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ baʼzilar uchun $i_{1}$ . Keyin, beri $N_{2}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin $M_{i}$ ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

• Element berilgan $x\in N$, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi mavjud $H$ ning $N$ va kichik toʻplam $J\subset I$ shu kabi $x\in H$ va ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ .

Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang $F\subset I$ shu kabi ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ . Keyin, yozish $M=N\oplus L$, Azumaya teoremasi boʻyicha, $M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}$ baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan $N_{1},L_{1}$ ning $N,L$ va keyin, modul qonuniga koʻra, $N=H\oplus N_{1}$ bilan $H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N$ . Keyin, beri $L_{1}$ ning bevosita yig‘indisidir $L$, yozishimiz mumkin $L=L_{1}\oplus L_{1}'$ undan keyin $\oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'$, bu F chekli boʻlgani uchun, bu degani $H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}$ baʼzi J uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir $M_{i}$ hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): $N$ ga izomorfdir $\bigoplus _{j\in J}M_{j}$ baʼzi bir kichik toʻplam uchun $J\subset I$ (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „ $M_{i}$ countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.

Halqaningning parchalanishi

Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

1. R — yarim oddiy halqa; yaʼni, ${}_{R}R$ yarim oddiy chap moduldir.
2. $R\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})$ qayerda $\operatorname {M} _{n}(D)$ n -by- n matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi $r,m_{1},\dots ,m_{r}$ R bilan belgilanadi (lekin $D_{i}$ s R bilan aniqlanmaydi).
3. R ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar ${\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ qayerda $I_{i}$ oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.

$R\simeq \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$

har biri qaerda $\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$ boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin $D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})$ . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1. $\Leftrightarrow$ 3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

Yana qarang

• Sof inʼektsion modul

Manbalar

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13-jild (2-nashr), New York: Springer-Verlag, x+376-bet, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings (Wayback Machine saytida 2021-06-13 sanasida arxivlangan), University of Oregon, Fall, 2002.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2-jild (2nd-nashr), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
• Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
• R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.