Maxwellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori

Vaqt birligidagi impuls oʻzgarishi taʼsir qiluvchi kuchga tengdir. Demak,

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\textbf {g}}_{m}+{\textbf {g}}_{s}\right)={\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}};\ \ \ \ \ \ \ (1)$

tenglamaga muvofiq, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi ${\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}$ bilan bogʻlangan boʻladi. U vaqtda,

$\oint {\textbf {T}}_{n}d\sigma =\int {\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}dV;\ \ \ \ \ \ \ (2)$

ifodadan koʻrish mumkinki, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlarni shu hajmni chegaralovchi yopiq sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar bilan almashtirish mumkin. Shu sababli elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori $^{(2)}{\textbf {T}}$ Maxwellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori deb ham yuritiladi. Bu tenglamaning komponentlari:

$T_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),$

$T_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),$

$T_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),$

$T_{yx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),$

$T_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),$

$T_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),$

$T_{zx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),$

$T_{zy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),$

$T_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3)$;

Maxwell tenzori uchun

${\textbf {T}}_{n}=({\textbf {T}}_{x}{\textbf {n}}){\textbf {i}}+({\textbf {T}}_{y}{\textbf {n}}){\textbf {j}}+({\textbf {T}}_{z}{\textbf {n}}){\textbf {k}};\ \ \ \ \ (4)$

ga asosan quyidagilarni yozish mumkin:

$T_{nx}=T_{xx}n_{x}+T_{xy}n_{y}+T_{xz}n_{z},$

$T_{ny}=T_{yx}n_{x}+T_{yy}n_{y}+T_{yz}n_{z},$

$T_{nz}=T_{zx}n_{x}+T_{zy}n_{y}+T_{zz}n_{z},\ \ \ \ \ \ \ (5)$

Maxwellning elektr kuchlanishlar tenzori

Elektr maydon yoʻnalishi x oʻqining yoʻnalishi bilan mos tushsin (1-rasm). Kuchlanganlik vektori ${\textbf {E}}$ va elementar yuzacha normalining ${\textbf {n}}$ orti qogʻoz sirtida yotsin, ular orasidagi burchak $\varphi$ boʻladi, y oʻqi, demak, ${\textbf {j}}$ ort qogʻoz sirtiga perpendikulyar qilib olinsa, z oʻqi, yaʼni ${\textbf {k}}$ ort rasmda koʻrsatilganidek yoʻnalgan boʻladi.

1-rasm

Agar faqatgina elektr maydongina mavjud deb qaralsa, u holda:

$E_{x}=E,\ \ \ E_{y}=0,\ \ \ E_{z}=0,$

$H_{x}=0,\ \ \ H_{y}=0,\ \ \ H_{z}=0;\ \ \ \ \ \ \ (6)$

Normal ortining komponentlari esa

$n_{x}=\cos \varphi ,\ \ \ n_{y}=0,\ \ \ n_{z}=\sin \varphi ;\ \ \ \ \ \ \ (7)$

Maxwell tenzori komponentlari (6) va (7) ga muvofiq:

$T_{xx}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xy}=0,\ \ \ T_{xz}=0,$

$T_{yx}=0,\ \ \ T_{yy}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xz}=0,$

$T_{zx}=0,\ \ \ T_{zy}=0,\ \ \ T_{zz}={\frac {E^{2}}{8\pi }};\ \ \ \ \ \ \ (8)$

Demak, elektr maydon yoʻnalishiga perpendikulyar qoʻyilgan elementar yuzacha birligiga maydon boʻylab taʼsir qiluvchi kuch, yaʼni normal kuchlanish $T_{xx}$ bilan ifodalanadi va maydon energiyasi zichligi bilan oʻlchanadi. Elektr maydon yoʻnalishid yotgan elementar yuza birligiga uning normaliga qarama qarshi yoʻnalishda taʼsir qiluvchi kuch, yaʼni bosim $T_{yy}$ yoki $T_{zz}$ bilan ifodalanadi va maydon energiyasi zichligi bilan oʻlchanadi.

(6) va (7) ga muvofiq (3) ni quyidagicha yozish mumkin:

$T_{nx}={\frac {E^{2}}{8\pi }}\cos \varphi ,\ \ \ T_{ny}=0,\ \ \ T_{nz}=-{\frac {E{2}}{8\pi }}\sin \varphi ;\ \ \ \ \ \ (9)$

demak,

$|{\textbf {T}}_{n}={\frac {E^{2}}{8\pi }};\ \ \ \ \ \ \ (10)$

yaʼni elementar yuza birligiga taʼsir qiluvchi maydon kuchining son qiymati maydon energiyasining zichligiga teng, ammo maydon yoʻnalishining elementar yuzachaga nisbatan qandayligiga bogʻliq emas.

Elektr kuchlanishlar tenzori bilan magnit kuchlanishlar tenzori yigʻindisi elektromagnit kuchlanishlar tenzorini hosil qiladi

Yana qarang

• Elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori
• Elektromagnit maydonning energiyasi va massasi orasidagi bog'lanish
• Qora oʻra

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974