Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi

Rasm-1: jnoodatiy kuch F(r) ko'k sayyorani ko'k aylana bo'ylab harakatlanishiga olib keladi. Yashil sayyora uch baravar tezroq harakat qiladi va shuning uchun jozibador teskari kub kuchini qo'shish orqali ta'minlangan kuchli markazga yo'naltiruvchi kuchni talab qiladi. Qizil sayyora harakatsiz; kuch F(r) itaruvchi teskari kub kuchi bilan muvozanatlanadi. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu erda topilgan.

Rasm-2: Yashil va ko'k sayyoralarning r radiusi bir xil, ammo ularning burchak tezligi bir k omil bilan farq qiladi. Bunday orbitalarga misollar 1 va 3–5 rasmlarda ko'rsatilgan.

Klassik mexanikada Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi zarrachaning burchak tezligini uning radial harakatiga ta'sir qilmasdan k omilga ko'paytirish uchun zarur bo'lgan markaziy kuch turini aniqlaydi (1 va 2 - rasmlar). Nyuton o'z teoremasini orbitalarning umumiy aylanishini tushunish uchun qo'llagan ( apsidal presessiya, 3-rasm) bu Oy va sayyoralar uchun kuzatiladi. "Radial harakat" atamasi kuch markaziga yoki undan uzoqqa harakatni anglatadi, burchak harakati esa radial harakatga perpendikulyar.

Isaak Nyuton ushbu teoremani birinchi marta 1687 yilda nashr etilgan o'zining "Falsafiy tabiat prinsiplari matematikasi" ning I kitobining 43-45-sonli takliflarida keltirgan. 43-taklifda u qo'shilgan kuch markaziy kuch bo'lishi kerakligini ko'rsatdi, uning kattaligi faqat zarracha va kosmosda mahkamlangan nuqta (markaz) orasidagi masofa r ga bog'liq. 44-taklifda u kuch formulasini chiqarib, uning teskari kubli kuch ekanligini ko'rsatdi, bu kuch r ning teskari kubi sifatida o'zgaradi. 45-taklifda Nyuton o'z teoremasini zarracha deyarli aylana orbita bo'ylab harakatlanadi deb faraz qilib, ixtiyoriy markaziy kuchlarga kengaytirdi.

Astrofizik Subrahmanyan Chandrasexar 1995 yilda Nyuton Principiyasi haqidagi sharhida ta'kidlaganidek, bu teorema uch asrdan ko'proq vaqt davomida noma'lum va ishlab chiqilmagan bo'lib qoldi. 1997 yildan beri teorema Donald Lynden-Bell va uning hamkorlari tomonidan o'rganilmoqda. Uning birinchi aniq kengayishi 2000 yilda Mahomed va Vawda ishi bilan sodir bo'ldi.

Tarixiy jarayonlar

Yerdan ko'rinib turganidek, Marsning retrograd harakati.

Rasm-3: Quyosh atrofida aylanadigan sayyoralar vaqt o'tishi bilan asta-sekin aylanadigan elliptik (oval) orbitalarni kuzatib boradi ( apsidal presessiya ). Ushbu ellipsning eksantrikligi vizualizatsiya uchun bo'rttirilgan. Quyosh sistemasidagi aksariyat orbitalarning eksantrikligi ancha kichik bo'lib, ularni deyarli aylana shaklida qiladi. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Astronomik jismlarning harakati ming yillar davomida tizimli ravishda o'rganilgan. Yulduzlar bir xilda aylanib, har doim bir-biriga nisbatan bir xil pozitsiyani saqlab turishi kuzatildi. Biroq, boshqa jismlar qo'zg'almas yulduzlar fonida aylanib yurganlari kuzatildi; Bunday jismlarning aksariyati yunoncha "sayyorlar" ( planētoi ) so'zidan keyin sayyoralar deb atalgan. Garchi ular odatda osmon bo'ylab ( ekliptika ) bir yo'nalishda harakat qilsalar ham, ayrim sayyoralar ba'zan o'z yo'nalishini qisqacha o'zgartirib, orqaga qaytish harakatini ko'rsatadi.

Ushbu oldinga va orqaga harakatni tasvirlash uchun Pergalik Apollonius (m.av 262 - m.av 190 - yillar) deferentlar va epitsikllar tushunchasini ishlab chiqdi, unga ko'ra sayyoralar aylanadigan aylanalarda, o'zlari esa boshqa aylanuvchi doiralarda olib yuriladi. va hokazo. Har qanday orbitani etarli miqdordagi oqilona tanlangan epitsikllar bilan tasvirlash mumkin, chunki bu yondashuv zamonaviy Furye konvertatsiyasiga mos keladi. Taxminan 350 yil o'tgach, Klavdiy Ptolemey o'zining "Almagest" ni nashr etdi, unda u o'z davrining eng yaxshi astronomik kuzatuvlariga mos keladigan ushbu tizimni ishlab chiqdi. Epitsikllarni tushuntirish uchun Ptolemey Aristotelning geosentrik kosmologiyasini qabul qildi, unga ko'ra sayyoralar konsentrik aylanuvchi sharlar bilan chegaralangan. Koinotning ushbu modeli qariyb 1500 yil davomida obro'li edi.

Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi uning apsidal presessiyani miqdoriy jihatdan tushunishga birinchi urinishi edi. Ushbu teoremaga ko'ra, ma'lum bir turdagi markaziy kuch - teskari kub kuchining qo'shilishi aylanuvchi orbita hosil qilishi mumkin; burchak tezligi k faktoriga ko'paytiriladi, radial harakat esa o'zgarishsiz qoladi. Biroq, bu teorema tegishli bo'lmasligi mumkin bo'lgan muayyan turdagi kuch bilan cheklangan; Bir nechta bezovta qiluvchi teskari kvadrat o'zaro ta'sirlar (masalan, boshqa sayyoralar kabi) teskari kub kuchini aniq yig'ish dargumon. O'z teoremasini boshqa turdagi kuchlar uchun ham qo'llash uchun Nyuton ixtiyoriy markaziy kuch F(r) ning deyarli aylana orbitalari chegarasidagi teskari kub potentsialiga, ya'ni past ekssentriklikdagi elliptik orbitalarga eng yaxshi yaqinligini topdi. haqiqatan ham Quyosh tizimidagi ko'pgina orbitalar uchun to'g'ri. Ushbu taxminni topish uchun Nyuton Teylor kengayishining peshvosi sifatida ko'rish mumkin bo'lgan cheksiz qatorni ishlab chiqdi. Bu yaqinlashish Nyutonga o'zboshimchalik bilan markaziy kuchlar uchun presessiya tezligini taxmin qilish imkonini berdi. Nyuton bu yaqinlashuvni Oy orbitasining apsidal presessiyasiga olib keladigan kuch modellarini sinab ko'rish uchun qo'lladi. Biroq, Oyning harakati muammosi juda murakkab va Nyuton hech qachon Oyning apsidal presessiyasining aniq tortishish modelini nashr etmagan. 1747 yilda Clairaut tomonidan aniqroq modeldan so'ng, Oy harakatining analitik modellari 19-asr oxirida Hill, Braun, va Delaunay tomonidan ishlab chiqilgan.

Biroq, Nyuton teoremasi apsidal presessiyani tushuntirishdan ko'ra umumiyroqdir. U faqat Nyutonning universal tortishish qonuni va Kulon qonuni kabi teskari kvadrat kuchlarga emas, balki har qanday markaziy kuch F(r) ga teskari kub kuchini qo'shish ta'sirini tasvirlaydi. Nyuton teoremasi teskari kub kuchlarini ko'rib chiqishdan chiqarib tashlash orqali klassik mexanikada orbital masalalarni soddalashtiradi. Radial va burchakli harakatlar, r(t) va θ₁(t) teskari kub kuchisiz hisoblanishi mumkin; keyin uning ta'sirini zarrachaning burchak tezligini ko'paytirish orqali hisoblash mumkin

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}.$

Matematik bayonoti

Rasm-4: Uchta sayyora ham bir xil radial harakatga ega (koʻk doira), lekin turli burchak tezliklarida harakatlanadi. Moviy sayyora faqat teskari kvadrat kuchni his qiladi va ellips bo'ylab harakatlanadi ( k=1). Yashil sayyora burchak bo'ylab ko'k sayyoradan uch baravar tez harakat qiladi ( k=3); u ko'k sayyoraning har bir orbitasi uchun uchta orbitani yakunlaydi. Qizil sayyora burchak harakatisiz sof radial harakatni tasvirlaydi ( k=0). Yashil va ko'k sayyoralar tomonidan ta'qib qilingan yo'llar ko'rsatilgan. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Rasm-5: Yashil sayyora burchak bo'yicha ko'k sayyoraga qaraganda uchdan bir tezlikda harakat qiladi ( k=1/3); u har uchta ko'k orbita uchun bitta orbitani tugatadi. Yashil va ko'k sayyoralar tomonidan ta'qib qilingan yo'llar ko'rsatilgan. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Kattaligi faqat zarracha va qo'zg'almas markaz orasidagi masofa r ga bog'liq bo'lgan F₁(r) ixtiyoriy markaziy kuch ostida harakatlanuvchi zarrani ko'rib chiqaylik. Zarrachaning markaziy kuch ostidagi harakati doimo tekislikda yotganligi sababli, zarrachaning holatini qutb koordinatalari (r, θ₁), zarrachaning kuch markaziga nisbatan radiusi va burchagi (rasm-1). Bu ikkala koordinata r(t) va θ₁(t) zarracha harakatlanayotganda t vaqt o‘tishi bilan o‘zgaradi.

Bir xil massali m va bir xil radiusli harakatga ega bo'lgan ikkinchi zarrachani tasavvur qiling r(t), lekin burchak tezligi birinchi zarrachanikidan k marta tezroq. Boshqacha qilib aytganda, ikki zarrachaning azimutal burchaklari θ₂(t) = kθ₁(t) tenglama bilan bog'langan. Nyuton ikkinchi zarrachaning harakatini birinchi zarraga ta'sir qiladigan F₁(r) kuchga teskari kubli markaziy kuch qo'shish orqali hosil qilish mumkinligini ko'rsatdi :

$F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)$

Bu yerda L₁ - birinchi zarrachaning burchak momentumining kattaligi, bu markaziy kuchlar uchun harakat doimiysi (saqlangan).

Agar k² birdan katta bo'lsa, F₂ − F₁ - manfiy raqam; Shunday qilib, qo'shilgan teskari kub kuchi jozibador bo'lib, 1–4 va 9 raqamlarning yashil sayyorasida kuzatilgan . Aksincha, agar k² birdan kichik bo'lsa, F₂ - F₁ musbat son; qo'shilgan teskari kub kuchi, 5 va 10 raqamlarning yashil sayyorasida kuzatilganidek, itaruvchidir va 4 va 5 raqamlarning qizil sayyorasida.

Zarrachalar yo'lining o'zgarishi

Bunday teskari kub kuchning qo'shilishi zarrachaning ketayotgan yo'lini ham o'zgartiradi. Zarrachaning yo'li r(t) va θ₁(t) kabi radial va burchak harakatlarining vaqtga bog'liqligini e'tiborsiz qoldiradi; balki radius va burchak o'zgaruvchilarini bir-biriga bog'laydi. Shu maqsadda burchak o'zgaruvchisi cheklanmagan va zarracha markaziy nuqta atrofida bir necha marta aylanayotganda cheksiz ko'payishi mumkin. Misol uchun, agar zarracha markaziy nuqta atrofida ikki marta aylanib, boshlang'ich holatiga qaytsa, uning oxirgi burchagi boshlang'ich burchagi bilan bir xil emas; balki 2×360° = 720° ga oshdi. Rasmiy ravishda, burchak o'zgaruvchisi burchak tezligining integrali sifatida aniqlanadi

$\theta _{1}\equiv \int \omega _{1}(t)\,dt.$

Xuddi shunday ta'rif ikkinchi zarrachaning burchagi th ₂ uchun ham amal qiladi.

Agar birinchi zarrachaning yo'li r = g(θ₁) ko'rinishda tasvirlangan bo'lsa, ikkinchi zarrachaning yo'li r = g(θ₂/k) funksiyasi bilan beriladi, chunki θ₂ = k θ₁ . Masalan, birinchi zarrachaning yo'li ellips bo'lsin

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}$

bu yerda A va B konstantalar; keyin, ikkinchi zarrachaning yo'li bilan berilgan

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right).$

Yopiq orbitalar va teskari kubli markaziy kuchlar

Rasm-6: k = 1 (ko'k), 2 (magenta) va 3 (yashil) bo'lgan harmonik orbitalar. Ko'k va yashil orbitalarning animatsiyasi 4-shaklda ko'rsatilgan.

Ikki turdagi markaziy kuchlar - masofa bilan chiziqli ravishda ortib boruvchi F = Cr, masalan , Guk qonuni va teskari kvadrat kuchlar, F = C/r², masalan , Nyutonning universal tortishish qonuni va Kulon qonuni - juda g'ayrioddiy kuchga ega. Har ikki turdagi kuchlar ostida harakatlanayotgan zarracha cheksizlikka chiqish uchun yetarli energiyaga ega boʻlmasa, har doim oʻzining boshlangʻich tezligi bilan oʻzining boshlangʻich joyiga qaytadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bog'langan zarrachaning yo'li har doim yopiq bo'lib, uning harakati boshlang'ich holati yoki tezligi qanday bo'lishidan qat'iy nazar, cheksiz takrorlanadi. Bertran teoremasidan ko'rinib turibdiki, bu xususiyat boshqa turdagi kuchlar uchun to'g'ri emas; umuman olganda, zarracha bir xil tezlikda boshlang'ich nuqtasiga qaytmaydi.

Biroq, Nyuton teoremasi shuni ko'rsatadiki, chiziqli yoki teskari kvadrat kuchlar ostida harakatlanayotgan zarrachaga teskari kub kuch qo'llanilishi mumkin, shunda uning orbitasi yopiq qoladi, k ratsional songa teng bo'ladi. (Raqamni kasr sifatida yozish mumkin bo'lsa, "ratsional" deb nomlanadi m/n, bu yerda m va n butun sonlardir. ) Bunday hollarda teskari kubik kuchning qo‘shilishi zarrachaning kuch markazi atrofida m aylanishni bir vaqtning o‘zida asl zarracha n ta aylanishni bajarishiga olib keladi. Yopiq orbitalarni hosil qilishning bu usuli Bertran teoremasini buzmaydi, chunki qo'shilgan teskari kubik kuch zarrachaning dastlabki tezligiga bog'liq.

Garmonik va subharmonik orbitalar bunday yopiq orbitalarning maxsus turlari hisoblanadi. Agar k butun son bo'lsa, ya'ni k = m/n formulasida n = 1 bo'lsa, yopiq traektoriya garmonik orbita deb ataladi. Masalan, agar k = 3 (6-rasmdagi yashil sayyora, 1 va 4-shakldagi yashil orbita), natijada paydo bo'lgan orbita asl orbitaning uchinchi garmonikidir. Aksincha, yopiq trayektoriya subharmonik orbita deb ataladi, agar k butun songa teskari bo'lsa, ya'ni k = m/n formulasida m = 1 bo'lsa. Masalan, agar k = 1/3 bo'lsa (7-rasmdagi yashil sayyora, 5-shakldagi yashil orbita), natijada paydo bo'lgan orbita asl orbitaning uchinchi subharmonikasi deb ataladi. Bunday orbitalarning tabiatda paydo bo'lishi ehtimoldan yiroq bo'lsa-da, ular Nyuton teoremasini tasvirlash uchun foydalidir.

Rasm-7: subharmonik orbitalar k = 1 (ko'k), 1/2 (magenta) va 1/3 (yashil). Ko'k va yashil orbitalarning animatsiyasi 5-shaklda ko'rsatilgan.

Miqdoriy formula

Tenglamalarni soddalashtirish uchun Nyuton F(r) ni yangi C(r) funksiya shaklida yozadi.

$F(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}$

Bu yerda R - aylanaga yaqin orbitaning o'rtacha radiusi. Nyuton C(r) ni ketma-ketlikda kengaytiradi - endi Teylor qatori deb nomlanadi - r masofasining kuchlarida, bunday qatorning birinchi ko'rinishlaridan biri. Olingan teskari kub kuchini aylanuvchi orbitalar uchun teskari kub kuchiga tenglashtirib, Nyuton deyarli aylana orbitalar uchun ekvivalent burchakli masshtablash koeffitsienti k ni oladi:

${\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}$

Boshqacha qilib aytganda, F(r) ixtiyoriy markaziy kuchni deyarli aylana elliptik orbitaga qo'llash radial harakatga sezilarli ta'sir qilmasdan, burchak harakatini k omil bilan tezlashtirishi mumkin. Agar elliptik orbita harakatsiz bo'lsa, zarracha uzun o'qning bir uchidan ikkinchisiga (ikki apsis) o'tganda kuch markazi atrofida 180 ° ga aylanadi. Shunday qilib, umumiy markaziy kuch uchun mos keladigan apsidal burchak θ₂ = k θ₁ umumiy qonunidan foydalanib, k ×180 ° ga teng.

Misollar

Nyuton o'z formulasini uchta misol bilan tasvirlaydi. Birinchi ikkitasida markaziy kuch kuch qonuni F(r) = rⁿ⁻³, shuning uchun C (r)rⁿ ga proporsionaldir. Yuqoridagi formula shuni ko'rsatadiki, burchak harakati k = 1/√n omilga ko'paytiriladi, shuning uchun apsidal burchak α=180°/√n ga teng.

Bu burchakli masshtabni apsidal presessiyada, ya'ni ellipsning uzun o'qining bosqichma-bosqich aylanishida ko'rish mumkin (3-rasm). Yuqorida ta'kidlanganidek, butun orbita o'rtacha burchak tezligi Ω=(k−1)ω bilan aylanadi, bu yerda ω zarrachaning harakatsiz ellips bo'ylab o'rtacha burchak tezligiga teng. Agar zarracha bir apsisdan ikkinchisiga o'tish uchun T vaqtini talab qilsa, bu bir vaqtning o'zida uzun o'qning β burchakka aylanishini anglatadi: β=ΩT=(k−1) ωT=(k−1)×180°. Nyutonning universal tortishish qonuni kabi teskari kvadrat qonuni uchun, bu yerda n =1 ga teng, burchakli masshtablash (k=1) mavjud emas), apsidal burchak α 180 °, elliptik orbita esa statsionar (Ω=β=0).

Yakuniy misol sifatida Nyuton ikkita kuch qonunining yig'indisini ko'rib chiqadi

$C(r)\propto ar^{m}+br^{n}$

bu burchak tezligini bir omilga ko'paytiradi

$k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}$

Nyuton Oy orbitasining apsidal presessiyasini tekshirish uchun ushbu ikkala formulani (kuch qonuni va ikkita kuch qonunining yig'indisi) qo'llaydi.

Oyning harakati sayyoralarnikiga qaraganda murakkabroqdir, bu asosan Yer va Quyoshning tortishish kuchlari bilan bog'liq.

Oyning harakatini aniq o'lchash mumkin va sayyoralarnikidan sezilarli darajada murakkabroq. Qadimgi yunon astronomlari Gipparx va Ptolemey Oy orbitasidagi bir qancha davriy oʻzgarishlarni , masalan, uning orbital ekssentrikligidagi kichik tebranishlarni va uning orbitasining ekliptika tekisligiga moyilligini qayd etgan edilar. Ushbu tebranishlar odatda oyda bir yoki ikki marta vaqt oralig'ida sodir bo'ladi. Uning apsis chizig'i asta-sekin taxminan 8,85 yil oralig'ida o'tadi, uning tugunlari chizig'i esa taxminan ikki baravar, 18,6 yil davomida to'liq aylanaga aylanadi . Bu Saros tsikli deb ataladigan tutilishlarning taxminan 18 yillik davriyligini hisobga oladi. Biroq, har ikkala chiziq ham oylik vaqt shkalasida yana o'z harakatlarida kichik tebranishlarni boshdan kechiradi.

1673 yilda Jeremiah Horrocks Oyning elliptik orbita bo'ylab harakatlanishi taxmin qilingan Oy harakatining oqilona aniq modelini nashr etdi. Oyning harakatini bashorat qilishning etarlicha aniq va oddiy usuli kemaning uzunligini aniqlashning navigatsiya muammosini hal qilgan bo'lar edi; Nyuton davrida Oyning oʻrnini 2' (ikki yoy-daqiqa ) ga qadar bashorat qilish edi, bu esa er uzunligi boʻyicha 1° xatolikka toʻgʻri keladi. Horrocks modeli oyning holatini 10 yoy daqiqasidan ko'p bo'lmagan xatolar bilan bashorat qildi; Taqqoslash uchun, Oyning diametri taxminan 30 yoy minutiga teng.

$F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2+4/243}}}$

1894-yilda Asaph Xoll Merkuriy sayyorasining anomal orbital presessiyasini tushuntirish uchun teskari kvadrat qonunida ko'rsatkichni biroz o'zgartirish usulini qo'lladi, 1859 yilda Urbain Le Verrier tomonidan kuzatilgan . Ajablanarlisi shundaki, Xoll nazariyasi Oyni sinchkovlik bilan astronomik kuzatishlar natijasida inkor etildi . Ushbu presessiya uchun hozirda qabul qilingan tushuntirish umumiy nisbiylik nazariyasini o'z ichiga oladi, bu ( birinchi taxminga ) teskari-kvartik kuchni qo'shadi, ya'ni masofaning teskari to'rtinchi darajasi sifatida o'zgaradi.

Oyning presessiyasini tushuntirishga ikkinchi yondashuv sifatida Nyuton Quyoshning Oyning harakatiga bezovta qiluvchi ta'siri taxminan qo'shimcha chiziqli kuchga teng bo'lishi mumkinligini aytdi.

$F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br$

Birinchi atama Oy va Yer o'rtasidagi tortishish kuchiga to'g'ri keladi, bu yerda r - Oyning Yerdan masofasi. Nyutonning fikricha, ikkinchi atama Quyoshning Yer-Oy tizimidagi tortishish kuchining o'rtacha qo'zg'atuvchi kuchini ko'rsatishi mumkin. Bunday kuch qonuni, agar Yer bir xil zichlikdagi sferik chang buluti bilan o'ralgan bo'lsa ham paydo bo'lishi mumkin. Deyarli dumaloq orbitalar uchun k formulasidan hamda A va B ni baholashdan foydalanib, Nyuton bu kuch qonuni Oyning presessiyasini hisobga olmasligini ko'rsatdi(α ≈180,76°), chunki bashorat qilingan apsidal burchak kuzatilgan (α≈181,525°). Har bir inqilob uchun uzun o'q 1,5 ° ga aylanadi, bu kuzatilgan 3,0 ° ning taxminan yarmi .