Kinematika va uning asosiy kattaliklari: Versiyalar orasidagi farq

Kontent oʻchirildi Kontent qoʻshildi

Inline

27-Iyul 2023, 14:17 dagi koʻrinishi

Kinematika klassik mexanikada ishlab chiqilgan fizikaning kichik sohasi bo'lib, nuqtalar, jismlar (ob'ektlar) va jismlar tizimlari (ob'ektlar guruhlari) harakatini ularning harakatiga olib keladigan kuchlarni hisobga olmasdan tasvirlaydi. ^[1] ^[2] ^[3] Kinematika o'rganish sohasi sifatida ko'pincha "harakat geometriyasi" deb ataladi va vaqti-vaqti bilan matematikaning bir bo'limi sifatida ko'riladi. ^[4] ^[5] ^[6] Kinematik masala tizim geometriyasini tavsiflash va tizim ichidagi nuqtalarning pozitsiyasi, tezligi va/yoki tezlanishining har qanday ma'lum qiymatlarining boshlang'ich shartlarini e'lon qilishdan boshlanadi. Keyin, geometriyadan argumentlar yordamida tizimning har qanday noma'lum qismlarining holati, tezligi va tezlanishi aniqlanishi mumkin. Kuchlarning jismlarga qanday ta'sir qilishini o'rganish kinematikaga emas, kinetikaga kiradi.

Kinematika astrofizikada samoviy jismlarning harakatini va bunday jismlarning to'plamlarini tasvirlash uchun ishlatiladi. Mashinasozlik, robototexnika va biomexanikada ^[7] kinematika dvigatel, robot qo'li yoki inson skeleti kabi birlashtirilgan qismlardan (ko'p bo'g'inli tizimlar) tashkil topgan tizimlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi.

Qattiq transformatsiyalar deb ham ataladigan geometrik o'zgarishlar mexanik tizimdagi komponentlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi, bu harakat tenglamalarini chiqarishni soddalashtiradi. Ular, shuningdek, dinamik tahlil uchun markaziy hisoblanadi.

Kinematik tahlil - bu harakatni tasvirlash uchun ishlatiladigan kinematik miqdorlarni o'lchash jarayoni. Masalan, muhandislikda kinematik tahlil ma'lum bir mexanizm uchun harakat oralig'ini topish uchun ishlatilishi mumkin va teskari yo'nalishda ishlaganda, kerakli harakat diapazoni uchun mexanizmni loyihalash uchun kinematik sintezdan foydalanish mumkin. ^[8] Bundan tashqari, kinematika mexanik tizim yoki mexanizmning mexanik ustunligini o'rganish uchun algebraik geometriyani qo'llaydi.

Terminning etimologiyasi

Kinematik atamasi AM Amperning ^[9] cinematique filmining inglizcha versiyasi boʻlib, u yunoncha κίνημα dan yaratgan.</link> kinema ("harakat, harakat"), o'zi κινεῖν dan olingan</link> kinein ("harakat qilish"). ^[10] ^[11]

Kinematik va cinématique fransuzcha cinéma so'zi bilan bog'liq, lekin ikkalasi ham undan to'g'ridan-to'g'ri olingan emas. Biroq, ular bir xil ildiz so'ziga ega, chunki cinema cinematographe so'zining qisqartirilgan shakli "kinofilm proyektori va kamera" dan, yana yunoncha harakat so'zidan va yunoncha γρᾰ́φω - grapho ("yozish") so'zidan kelib chiqqan.

Aylanmaydigan sanoq sistemasidagi zarracha traektoriyasining kinematikasi

Klassik zarrachaning kinematik kattaliklari: massasi - m, holati - r, tezligi - v, tezlanishi - a .

Zarrachalar kinematikasi zarrachalar harakatini oʻrganuvchi fandir. Zarrachaning pozitsiyasi koordinata ramkasining boshidan zarrachagacha bo'lgan koordinata vektori sifatida aniqlanadi. Masalan, uyingizdan 50 m janubdagi minorani ko'rib chiqing, koordinata markazi uyingizning markazida joylashganki, sharq x o'qi yo'nalishida va shimol y o'qi yo'nalishida bo'lsa, minora poydevoriga koordinata vektori r = (0 m, -50 m, 0 m) ga teng. Agar minora 50 m balandlikda bo'lsa va bu balandlik z o'qi bo'ylab o'lchanadi, keyin minora tepasiga koordinata vektori r = (0 m, -50 m, 50 m).

Eng umumiy holatda, zarrachaning o'rnini aniqlash uchun uch o'lchovli koordinatalar tizimi qo'llaniladi. Biroq, agar zarracha tekislik ichida harakatlanishi cheklangan bo'lsa, ikki o'lchovli koordinatalar tizimi yetarli. Fizikadagi barcha kuzatishlar mos yozuvlar tizimiga nisbatan tavsiflanmagan holda to'liq emas.

Zarrachaning joylashuv vektori mos yozuvlar ramkasining kelib chiqishidan zarrachaga chizilgan vektordir . U nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan uzoqligini ham, uning yo'nalishini ham ifodalaydi. Uch o'lchovda, pozitsiya vektori ${\bf {r}}$ sifatida ifodalash mumkin:

\mathbf{r} = (x,y,z) = x\hat{\mathbf i} + y\hat{\mathbf j} + z\hat{\mathbf k},

bu yerda $x$ , $y$ , va $z$ Dekart koordinatalari va ${\hat {\mathbf {i} }}$ , ${\hat {\mathbf {j} }}$ va ${\hat {\mathbf {k} }}$ bo'ylab birlik vektorlardir $x$ , $y$ , va $z$ mos ravishda koordinata o'qlari. Joylashuv vektorining kattaligi $\left|\mathbf {r} \right|$ nuqta orasidagi masofani beradi $\mathbf {r}$ va kelib chiqishi.

|\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Pozitsiya vektorining yo'nalish kosinuslari yo'nalishning miqdoriy o'lchovini ta'minlaydi. Umuman olganda, ob'ektning joylashuv vektori mos yozuvlar tizimiga bog'liq bo'ladi; turli ramkalar pozitsiya vektori uchun turli qiymatlarga olib keladi.

Zarrachaning traektoriyasi vaqtning vektor funktsiyasidir, $\mathbf {r} (t)$ tomonidan berilgan, harakatlanuvchi zarracha tomonidan kuzatilgan egri chiziqni belgilaydi:

\mathbf{r}(t) = x(t)\hat{\mathbf i} + y(t) \hat{\mathbf j} +z(t) \hat{\mathbf k},

bu yerda $x(t)$ , $y(t)$ , va $z(t)$ zarracha joylashuvining har bir koordinatasini vaqt funksiyasi sifatida tasvirlangan.

Bosib o'tgan masofa har doim siljishdan katta yoki teng.

Tezlik

Zarrachaning tezligi vektor kattalik bo'lib, u zarracha harakatining kattaligi bilan bir qatorda yo'nalishini ham tavsiflaydi. Matematik jihatdan nuqtaning pozitsiya vektorining vaqtga nisbatan o'zgarish tezligi nuqta tezligidir. Zarrachaning ikkita pozitsiyasi farqini vaqt oralig'iga bo'lish natijasida hosil bo'lgan nisbatni ko'rib chiqing. Bu nisbat o'sha vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi:

\mathbf{v}_{\rm avg} = \frac {\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \ ,

bu yerda $\Delta \mathbf {r}$ vaqt oralig'idagi pozitsiya vektorining o'zgarishi $\Delta t$ . Vaqt oralig'i chegarasida $\Delta t$ nolga yaqinlashadi, o'rtacha tezlik pozitsiya vektorining vaqt hosilasi sifatida belgilangan oniy tezlikka yaqinlashadi.

\mathbf{v}

= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}

= \frac {\text{d} \mathbf{r}}{\text{d} t}

=\dot{\mathbf{r}}

= \dot{x} \hat{\mathbf i} + \dot{y} \hat{\mathbf j} + \dot{z} \hat{\mathbf k},

Bu yerda nuqta vaqtga nisbatan hosilani bildiradi (masalan ${\dot {x}}={\text{d}}x/{\text{d}}t$ ). Shunday qilib, zarrachaning tezligi uning pozitsiyasini o'zgartirishning vaqt tezligidir. Bundan tashqari, bu tezlik zarrachaning yo'li bo'ylab har bir pozitsiyada traektoriyasiga tegib turadi. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yo'nalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yo'nalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezligi uning tezligining kattaligidir. Bu skalyar miqdor:

v=|\mathbf{v}|= \frac {\text{d}s}{\text{d}t},

bu yerda $s$ zarrachaning traektoriyasi bo'ylab o'lchanadigan yoy uzunligi. Bu yoy uzunligi zarracha harakat qilganda har doim ortib borishi kerak. Demak, ${\text{d}}s/{\text{d}}t$ manfiy emas, bu tezlik ham manfiy emasligini bildiradi.

Tezlanish

Tezlik vektori kattalik va yo'nalish bo'yicha yoki bir vaqtning o'zida ikkalasini ham o'zgartirishi mumkin. Demak, tezlanish tezlik vektori kattaligining o'zgarish tezligini ham, bu vektor yo'nalishini o'zgartirish tezligini ham hisobga oladi. Tezlikni aniqlash uchun zarrachaning pozitsiyasiga nisbatan qo'llaniladigan xuddi shunday fikrni tezlanishni aniqlash uchun tezlikka ham qo'llash mumkin. Zarrachaning tezlashishi - bu tezlik vektorining o'zgarish tezligi bilan aniqlangan vektor. Zarrachaning vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlashishi nisbat sifatida aniqlanadi.

\overline{\mathbf{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} \ ,

Bu yerda Δv tezlik vektoridagi farq va Δt vaqt oralig'i.

Zarrachaning tezlashishi vaqt oralig'i nolga yaqinlashganda o'rtacha tezlanishning chegarasi bo'lib, vaqt bo'yicha hosilasidir

\mathbf{a}

= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}

= \frac {d \mathbf{v}}{d t}

= \dot{\mathbf{v}}

= \dot{v}_x \hat{\mathbf i} + \dot{v}_y \hat{\mathbf j} + \dot{v}_z \hat{\mathbf k}

yoki,

\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}}

= \ddot{x} \hat{\mathbf i} + \ddot{y} \hat{\mathbf j} + \ddot{z}\hat{\mathbf k}

Shunday qilib, tezlanish tezlik vektorining birinchi hosilasi va bu zarrachaning pozitsiya vektorining ikkinchi hosilasidir. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yo'nalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yo'nalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezlanishining kattaligi - kattaligi | a | uning tezlanish vektori. Bu skalyar miqdor:

|\mathbf{a}| = |\dot{\mathbf{v}} | = \frac{\text{d}v}{\text{d}t}.

↑ Edmund Taylor Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, 1904. ISBN 0-521-35883-3.
↑ Joseph Stiles Beggs. Kinematics. Taylor & Francis, 1983 — 1 bet. ISBN 0-89116-355-7.
↑ Thomas Wallace Wright. Elements of Mechanics Including Kinematics, Kinetics and Statics. E and FN Spon, 1896.
↑ Russell C. Hibbeler „Kinematics and kinetics of a particle“,. Engineering Mechanics: Dynamics, 12th, Prentice Hall, 2009 — 298 bet. ISBN 978-0-13-607791-6.
↑ Ahmed A. Shabana „Reference kinematics“,. Dynamics of Multibody Systems, 2nd, Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-54411-5.
↑ P. P. Teodorescu „Kinematics“,. Mechanical Systems, Classical Models: Particle Mechanics. Springer, 2007 — 287 bet. ISBN 978-1-4020-5441-9. .
↑ A. Biewener. Animal Locomotion. Oxford University Press, 2003. ISBN 019850022X.
↑ J. M. McCarthy and G. S. Soh, 2010, Geometric Design of Linkages, Springer, New York.
↑ Ampère, André-Marie. Essai sur la Philosophie des Sciences. Chez Bachelier, 1834.
↑ Merz, John. A History of European Thought in the Nineteenth Century. Blackwood, London, 1903 — 5 bet.
↑ O. Bottema & B. Roth. Theoretical Kinematics. Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66346-9.

[Whittaker-1] Edmund Taylor Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, 1904. ISBN 0-521-35883-3.

[Beggs-2] Joseph Stiles Beggs. Kinematics. Taylor & Francis, 1983 — 1 bet. ISBN 0-89116-355-7.

[Wright-3] Thomas Wallace Wright. Elements of Mechanics Including Kinematics, Kinetics and Statics. E and FN Spon, 1896.

[4] Russell C. Hibbeler „Kinematics and kinetics of a particle“,. Engineering Mechanics: Dynamics, 12th, Prentice Hall, 2009 — 298 bet. ISBN 978-0-13-607791-6.

[5] Ahmed A. Shabana „Reference kinematics“,. Dynamics of Multibody Systems, 2nd, Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-54411-5.

[6] P. P. Teodorescu „Kinematics“,. Mechanical Systems, Classical Models: Particle Mechanics. Springer, 2007 — 287 bet. ISBN 978-1-4020-5441-9. .

[Biewener-7] A. Biewener. Animal Locomotion. Oxford University Press, 2003. ISBN 019850022X.

[McCarthy2010-8] J. M. McCarthy and G. S. Soh, 2010, Geometric Design of Linkages, Springer, New York.

[9] Ampère, André-Marie. Essai sur la Philosophie des Sciences. Chez Bachelier, 1834.

[10] Merz, John. A History of European Thought in the Nineteenth Century. Blackwood, London, 1903 — 5 bet.

[Bottema-11] O. Bottema & B. Roth. Theoretical Kinematics. Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66346-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]