Parseval ayniyati

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Navigatsiya qismiga oʻtish Qidirish qismiga oʻtish

Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan Parseval ayniyati funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi,

bu yerda ning Furye koeffitsientlari quyidagicha berilgan
Rasmiy tilda aytganda, agar kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija Plancherel teoremasi boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada, uchun
munosabat oʻrinli.

Umumlashgan Pifagor teoremasi[tahrir | manbasini tahrirlash]

Yuqorida keltirilgan ayniyat Pifagor teoremasi bilan separabel Gilbert fazosining umumiy holatida quyidagicha bogʻlangan. Faraz qilaylik, fazo skalyar koʻpaytmaga ega boʻlgan Gilbert fazosi boʻlsin. ning ortonormal bazisi boʻlsin; yaʼni ning chiziqli yoyilmasi da zich va lar oʻzaro ortonormal boʻlsin:

U holda Parseval ayniyati barcha lar uchun

ekanligini tasdiqlaydi.

Bu toʻgʻridan-toʻgʻri Pifagor teoremasiga oʻxshash boʻlib, Pifagor teoremasi ortonormal bazisdagi vektor komponentlari kvadratlarining yigʻindisi vektorning uzunligining kvadratiga teng ekanligini tasdiqlaydi. ni Gilbert fazosi deb, hamda lar uchun deb olish orqali Furye qatorlari uchun Parseval ayniyatini tiklash mumkin.

Umuman olganda, Parseval ayniyati faqatgina separabel Gilbert fazolarida emas, balki har qanday skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolarda bajariladi. Shunday ekan, faraz qilaylik, skalyar koʻpaytma aniqlangan fazo boʻlsin. ning ortonormal bazisi boʻlsin, bunda toʻliq ortonormal toʻplam ( ning chiziqli yoyilmasi da zichligi maʼnosida). U holda,

ning toʻliq boʻlishi ayniyatning bajarilishi uchun zaruriydir. Agar toʻliq boʻlmasa, u holda Parseval ayniyatidagi tenglik belgisi ga oʻzgartirilishi kerak boʻladi. Bu esa Bessel tengsizligiga olib keladi. Parseval tengsizligining ushbu umumlashgan koʻrinishi Riesz-Fischer teoremasi yordamida isbot qilinadi.

Shuningdek qarang[tahrir | manbasini tahrirlash]

  • Parseval teoremasi

Manbalar[tahrir | manbasini tahrirlash]

  • „Parseval equality“, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd nashri), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3 .
  • Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd nashri), Oxford University Press .
  • Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd nashri), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9 .
  • Siktar, Joshua (2019), Recasting the Proof of Parseval's Identity, Turkish Journal of Inequalities . [1]