Operatorlarning xususiya funksiyalari

Vibratsiyali baraban muammosining bu yechimi vaqtning istalgan nuqtasida diskdagi Laplas operatorining xos funktsiyasidir.

Matematikada baʼzi bir funksiyalar fazosida aniqlangan D chiziqli operatorining xos funksiyasi nolga teng boʻlmagan har qanday funksiyadir. $f$ oʻsha boʻshliqda, D bilan taʼsir qilganda, faqat oʻziga xos qiymat deb ataladigan qandaydir masshtablash faktoriga koʻpaytiriladi. Bu shartni tenglama sifatida quyidagicha yozish mumkin: $Df=\lambda f$

baʼzi bir skalyar xos qiymat uchun $\lambda .$ Bu tenglamaning yechimlari ruxsat etilgan xos qiymatlar va xos funksiyalarni cheklovchi chegara shartlariga ham bogʻliq boʻlishi mumkin.

Xususiy funksiya xos vektorning bir turi.

Xususiy funksiyalar

Umuman olganda, baʼzi vektorlar fazoda aniqlangan D chiziqli operatorining xos vektori D sohasidagi nolga teng boʻlmagan vektori boʻlib, D unga taʼsir qilganda oddiygina oʻziga xos qiymat deb ataladigan qandaydir skalyar qiymat bilan moslashtiriladi. Funksiya fazosida D aniqlangan maxsus holatda, xos vektorlar xos funksiyalar deb ataladi. Yaʼni, f funksiya tenglamani qanoatlantirsa, D ning xos funksiyasi hisoblanadi:

$Df=\lambda f$

bu λ yerda skalardir. Yuqoridagi tenglamaning yechimlari ham chegaraviy shartlarga boʻysunishi mumkin. Chegaraviy shartlar tufayli λ ning mumkin boʻlgan qiymatlari odatda cheklangan, masalan, diskret l₁, l₂, … yoki baʼzi diapazondagi uzluksiz toʻplam bilan. D ning barcha mumkin boʻlgan xos qiymatlari toʻplami baʼzan uning spektri deb ataladi, bu diskret, uzluksiz yoki ikkalasining kombinatsiyasi boʻlishi mumkin.

λ ning har bir qiymati bir yoki bir nechta xos funksiyalarga mos keladi. Agar bir nechta chiziqli mustaqil xususiy funksiyalar bir xil xos qiymatga ega boʻlsa, xususiy qiymat degenerativ deb ataladi va bir xil oʻziga xos qiymat bilan bogʻliq boʻlgan chiziqli mustaqil xususiy funksiyalarning maksimal soni xususiy qiymatning degeneratsiya darajasi yoki geometrik koʻplik darajasidir.

Hosilaviy misol

Cheksiz oʻlchovli fazolarga taʼsir qiluvchi chiziqli operatorlarning keng qoʻllaniladigan sinfi haqiqiy yoki kompleks argument t ning cheksiz differensiallanadigan haqiqiy yoki kompleks funksiyalarining C ^∞ fazodagi differensial operatorlaridir. Masalan, hosila operatorini koʻrib chiqaylik ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ xos qiymat tenglamasi bilan ${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t)$

Bu differensial tenglamani ikkala tomonni koʻpaytirish yoʻli bilan yechish mumkin ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$. Uning yechimi, koʻrsatkichli funksiya boʻladi:

$f(t)=f_{0}e^{\lambda t}$

hosila operatorning xos funksiyasi boʻlib, f₀ chegara shartlariga bogʻliq boʻlgan parametrdir. Bu holda xos funksiyaning oʻzi har qanday haqiqiy yoki murakkab qiymatni qabul qilishi mumkin boʻlgan oʻziga bogʻliq boʻlgan l ning oʻz funksiyasidir. Xususan, λ=0 uchun f (t) xos funksiya doimiy hisoblanadi.

Faraz qilaylik, misolda f (t): f (0)=1 chegara shartlariga boʻysunadi va ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ . Keyin biz buni topamiz

$f(t)=e^{2t}$

bu yerda λ=2 differensial tenglamaning chegaraviy shartni ham qanoatlantiradigan yagona xos qiymatidir.

Matritsalarning xos qiymatlari va xos vektorlariga havola

Xususiy funksiyalar ustun vektorlari, chiziqli operatorlar esa matritsalar sifatida ifodalanishi mumkin, garchi ular cheksiz oʻlchamlarga ega boʻlishi mumkin. Natijada, matritsalarning xos vektorlari bilan bogʻliq koʻplab tushunchalar xos funksiyalarni oʻrganishga oʻtadi.

D ga belgilangan funksiya maydonidagi ichki mahsulotni aniqlang $\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt$ Ω deb nomlangan t uchun qiziqishning baʼzi diapazonida birlashtirilgan. * kompleks qoʻshmani bildiradi.

Faraz qilaylik, funksiya fazosi {u₁(t), u₂(t), …, u_n(t)} funksiyalar toʻplami tomonidan berilgan ortonormal asosga ega boʻlsin, bu yerda n cheksiz boʻlishi mumkin. Ortonormal asos uchun,

$$\langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},$$

Bu yerda δ_ij Kronecker deltasidir va uni identifikatsiya matritsasi elementlari sifatida koʻrib chiqish mumkin.

Funksiyalarni asosiy funksiyalarning chiziqli birikmasi sifatida yozish mumkin, $f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t)$ masalan f (t) ning Furye kengayishi orqali. b_j koeffitsientlari n ga 1 ustunli vektor b = [b₁ b₂ … b_n]^T joylashtirilishi mumkin. Baʼzi maxsus holatlarda, masalan, sinusoidal funksiyaning Furye seriyasining koeffitsientlari, bu ustun vektori cheklangan oʻlchamga ega.

Bundan tashqari, elementlar bilan chiziqli D operatorining matritsali tasvirini aniqlashimiz mumkin: $A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt$. Biz D f (t) funksiyani bazis funksiyalarning chiziqli birikmasi sifatida yoki f (t) ning kengayishiga taʼsir etuvchi D koʻrinishida yozishimiz mumkin, $Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t)$. Bu tenglamaning har bir tomonining ichki mahsulotini ixtiyoriy bazis funksiyasi u_i(t) bilan olib,

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}$$

Bu yigʻindisi yozuvida yozilgan Ab = c matritsa koʻpaytmasi va ortonormal asosda ifodalangan f (t) funksiyaga taʼsir qiluvchi D operatorining matritsa ekvivalenti. Agar f (t) oʻz qiymati l boʻlgan D ning xos funksiyasi boʻlsa, Ab = lb boʻladi.

Manbalar

• Landau va Lifshis „Nazariy mexanika“
• G.ahmedova „Atom fizikasi“