Hosilani hisoblash

HOSILANI HISOBLASH QOIDALARI

1. Ikki funksiya yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi va nisbatining hosilasi. Aytaylik f (x) va g (x) funksiyalari (a, b)$\subset$ R da

berilgan boʻlib, $x_{0}$$\in$(a, b) nuqtada $f'(x_{0})$ va $g'(x_{0})$ hosilalarga ega boʻlsin.

Hosila taʼrifiga koʻra

$\lim _{n\to \infty }$${f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}=f'(x_{0})$, (1)

$\lim _{n\to \infty }$ ${g(x)-g(x_{0}) \over x-x_{0}}=g'(x_{0})$ (2)

boʻladi.

1) $f(x)\pm g(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada hosilaga ega boʻlib,

$(f(x)\pm g(x))'_{x}=f'(x_{0})\pm g'(x_{0})$

$(f(x)\pm g(x))'_{x}=f'(x_{0})\pm g'(x_{0})$

boʻladi.

$\blacktriangleleft F(x)=f(x)\pm g(x)$ deb topamiz:

${F(x)-F(x_{0}) \over x-x_{0}}={f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}\pm {g(x)-g(x_{0}) \over x-x_{0}}.$

Bu tenglikda $x\rightarrow x_{0}$ da limitga oʻtib, yuqoridagi munosabatlarni eʼtiborga olsak. Unda

$\lim _{n\to x_{0}}{F(x)-F(x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{n\to x_{0}}={f(x)+f(x_{0}) \over x-x_{0}}\pm$

$\pm \lim _{n\to x_{0}}{g(x)-g(x_{0}) \over x-x_{0}}=f'(x_{0})\pm g'(x_{0})$

boʻlishi kelib chiqadi. Demak,

$F'(x_{0})=(f(x)\pm g(x))'_{x}=f'(x_{0})\pm g'(x_{0}).\blacktriangleright$

2) $f(x)\cdot g(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada hosilaga ega boʻlib,

$(f(x)\cdot g(x))'_{x}=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})\pm f(x_{0})\cdot g'(x_{0})$

boʻladi.

$\blacktriangleleft$ F$(x)=f(x)\cdot g(x)$ deb

${F'(x)-F(x_{0}) \over x-x_{0}}$

nisbatini quyidagicha

${F(x)-F(x_{0}) \over x-x_{0}}={f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}\cdot g(x_{0})+{g(x)-g(x_{0}) \over x-x_{0}}\cdot f(x)$

yozib olamiz. Soʻng $x\longrightarrow x_{0}$ da limitga oʻtib topamiz.

$\lim _{n\to x_{0}}{F(x)-F(x_{0}) \over x-x_{0}}=g(x_{0})\cdot \lim _{n\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}+\lim _{n\to x_{0}}{g(x)-g(x_{0}) \over x-x_{0}}\cdot f(x)=$

$=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0}).$

Demak,

$F'(x_{0})=(f(x)\cdot g(x))'_{x0}=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0})\blacktriangleright$

3) ${f(x) \over g(x)}$ funksiya $(g(x_{0})\neq 0)$ $x_{0}$ nuqtada ho silaga ega boʻlib,

${\biggl (}{f(x) \over g(x)}{\biggr )}'_{x0}={f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0}) \over g^{2}(x_{0})}$

boʻladi.

$\blacktriangleleft$ Modomiki, $g(x_{0})\neq 0$ ekan, unda $x_{0}$ nuqtaning biror atrofidagi $x$ larda $g(x)\neq 0$ boʻladi.

SHuni etiborga olib topamiz:

${{f(x) \over g(x)}-{f(x_{0}) \over g(x_{0})} \over x-x_{0}}={f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x) \over g(x)\cdot g(x_{0})\cdot (x-x_{0})}=$

$={1 \over g(x)\cdot g(x_{0})}\left[{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\centerdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right].$

Bu tenglikda $x\longrightarrow x_{0}$ da limitga oʻtib, Ushbu

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'_{x0}={f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0}) \over g^{2}(x_{0})}$

tenglikka kelamiz.$\blacktriangleright$

1-natija. Agar $f(x)$ funksiya $x_{0}$ nuqtada $f'(x_{0})$ hosilaga ega boʻlsa, $c\cdot f(x)$ funksiya $(c=const)$ $x_{0}$ nuqtada hosilaga ega boʻlib,

$(c\cdot f(x))'_{x0}=c\cdot f'(x_{0})$

boʻladi, yaʼni oʻzgarmas sonni hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin.

2-natija. Agar $f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)$ funksiyalar $x_{0}$ nuqtada hosilalarga ega boʻlib, $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ oʻzgarmas sonlar boʻlsa

u holda

$(c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+...+c_{n}f_{n}(x)'_{x0}=c_{1}f_{1}'(x_{0})+c_{2}f_{2}'(x_{0})+...+c_{n}f_{n}'(x_{0})$

boʻladi.

Murakkab funksiyaning hosilasi

$2^{0}$. Murakkab funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik, $y=f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamda, $g(y)$ funksiya ${\{f(x)|x\in R\}}$ toʻplamda

berilgan boʻlib, $x_{0}\in X$ nuqtada $f'(x_{0})$ hosilaga, $y_{0}\in \{f(x)|x\in X\}$ nuqtada $(y_{0}=f(x_{0}))$ $g'(y_{0})$ hosilaga ega boʻlsin. U holda

$g(f(x))$ murakkab funksiya $x_{o}$ hosilaga ega boʻlib,

$(g(f(x)))'_{x0}=g'(f(x_{0}))\cdot f'(x_{0})$

boʻladi.

$\blacktriangleleft g(y)$ funksiyaning $y_{0}$ nuqtada $g'(y_{0})$ hosilaga ega boʻlganligidan

$g(y)-g(y_{0})=g'(y_{0})\cdot (y-y_{0})+\alpha \cdot (y-y_{0})$

boʻlishi kelib chiqadi. Bunda

$y=f(x),y_{0}=f(x_{0})$ va $y\longrightarrow y_{0}$ da $\alpha \longrightarrow 0$ .

Keyingi tenglikning xar ikki tomonini $x-x_{0}$ ga bo'lib topamiz;

${g(f(x))-g(x_{0})) \over x-x_{0}}=g'(f(x_{0}))\cdot {f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}+a{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Bundan $x-x_{0}$ da limitga o'tib,

$(g(f(x)))'_{x0}=g'(f(x_{0}))\cdot f'(x_{0})$

tenglikga kelamiz$\blacktriangleright$

Quyidagi sodda funksiyalarning hosilalarini ifodalovchi formulalarni keltiramiz

1. $(C)',C=const.$
2. $(x_{a})'=a\cdot x^{a-1},$ $a\in R,x>0$ $(x^{n})'=nx^{n-1}$ $n\in N,x\in R$
3. $(a^{x})=a^{x}lna,a>0,a\neq 1,x\in R$ $(e^{x})'=e^{x},x\in R$
4. $(log_{a}x)'={1 \over xlna},$ $a>0,a\neq 1,x\neq 0$ $(log_{a}\left\vert x\right\vert )'={1 \over xlna}$ $a>0,a\neq 1,x\neq 0.$ $(lnx)'={1 \over x}$ $x>0.$ $(ln\left\vert x\right\vert )'={1 \over x}$ $x\neq 0$
5. $(sinx)'=cosx$ $x\in R$
6. $(cosx)'=sinx,$ $x\in R$.
7. $(tgx)'={1 \over cos^{2}x},$ $x\neq {\pi \over 2}$ $n\in R$
8. $(ctgx)'-{1 \over sin^{2}x}$ $x\neq n\pi$ $n\in R$
9. $(\arcsin x)'={\operatorname {1} \! \over \operatorname {\sqrt {1-x^{2}}} \!}$, $\left\vert x\right\vert <1$
10. $(\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$, $\left\vert x\right\vert <1$
11. $(\arctan x)'={1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}},$ $x\in R$
12. $(\operatorname {arccot} )'=-{1 \over {\sqrt {1+x_{2}}}}$ $x\in R$
13. $(shx)'=chx,$ $x\in R$
14. $(chx)'=shx,$ $x\in R$
15. $(thx)'={1 \over ch^{2}x},$ $x\in R$
16. $(cthx)'=-{1 \over sh^{2}x},$ $x\neq 0$

MANBALAR

• Differensial hisob

{Худойберганов_Г_ва_бошқалар_Математик_анализдан_маърузалар_1 toʻplami} dan olindi