Gamilton maydon nazariyasi: Versiyalar orasidagi farq
„Hamiltonian field theory“ sahifasi tarjima qilib yaratildi |
yangi |
||
Qator 1: | Qator 1: | ||
Nazariy fizikada '''Gamilton maydon nazariyasi''' klassik Gamilton mexanikasining maydon-nazariy analogidir. Bu Lagrangian maydon nazariyasi bilan bir qatorda klassik maydon nazariyasidagi formalizmdir. Bundan tashqari [[Maydon kvant nazariyasi|, kvant maydon nazariyasida]] ilovalar mavjud. |
Nazariy fizikada '''Gamilton maydon nazariyasi''' klassik Gamilton mexanikasining maydon-nazariy analogidir. Bu Lagrangian maydon nazariyasi bilan bir qatorda klassik maydon nazariyasidagi formalizmdir. Bundan tashqari [[Maydon kvant nazariyasi|, kvant maydon nazariyasida]] ilovalar mavjud. |
||
== Taʼrif == |
|||
Ta'rif |
|||
Diskret zarrachalar sistemasi uchun Gamiltonian ularning umumiy koordinatalari va |
Diskret zarrachalar sistemasi uchun Gamiltonian ularning umumiy koordinatalari va koʻpaytma impulslari va, ehtimol, vaqtning funksiyasidir. Continua va maydonlar uchun Gamilton mexanikasi mos emas, lekin koʻp sonli nuqta massalarini hisobga olgan holda va uzluksiz chegarani, yaʼni doimiylik yoki maydonni tashkil etuvchi cheksiz koʻp zarralarni hisobga olgan holda kengaytirilishi mumkin. Har bir nuqta massasi bir yoki bir nechta erkinlik darajasiga ega boʻlganligi sababli, maydon formulasi cheksiz koʻp erkinlik darajasiga ega. |
||
=== Bitta skalyar maydon === |
=== Bitta skalyar maydon === |
||
Gamilton zichligi maydonlar uchun uzluksiz analog hisoblanadi; bu maydonlarning funksiyasi, |
Gamilton zichligi maydonlar uchun uzluksiz analog hisoblanadi; bu maydonlarning funksiyasi, koʻpaytma „impuls“ maydonlari va, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini muvofiqlashtiradi. Bitta skalyar maydon {{Math|''φ''('''x''', ''t'')}} uchun Gamilton zichligi Lagranj zichligidan bilan aniqlanadi: |
||
</ref> bilan aniqlanadi: |
|||
: <math>\mathcal{H}(\phi, \pi, \mathbf{x},t) = \dot{\phi}\pi - \mathcal{L}(\phi, \nabla\phi, \partial \phi/\partial t, \mathbf{x},t)\,.</math> |
: <math>\mathcal{H}(\phi, \pi, \mathbf{x},t) = \dot{\phi}\pi - \mathcal{L}(\phi, \nabla\phi, \partial \phi/\partial t, \mathbf{x},t)\,.</math> |
||
{{Math|∇}} [[Gamilton operatori|"del" yoki |
{{Math|∇}} [[Gamilton operatori|"del" yoki „nabla“ operatori]] bilan {{Math|'''x'''}} — fazodagi biron bir nuqtaning [[Holat (geometriya)|pozitsiya vektori]] va {{Math|''t''}} — [[vaqt]] . Lagranj zichligi — bu tizimdagi maydonlar, ularning fazo va vaqt hosilalari, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini koordinatalari. U umumlashtirilgan koordinatalar bilan tasvirlangan diskret zarralar tizimi uchun Lagranj funksiyasining maydon analogidir. |
||
⚫ | Har bir umumlashtirilgan koordinata mos keladigan umumiy impulsga ega |
||
⚫ | Har bir umumlashtirilgan koordinata mos keladigan umumiy impulsga ega boʻlgan Gamilton mexanikasida boʻlgani kabi, {{Math|''φ''('''x''', ''t'')}} maydoni Lagranj zichligining vaqt hosilasiga nisbatan qisman hosilasi sifatida aniqlangan {{Math|''π''('''x''', ''t'')}} '''ko‘paytma impuls maydoniga''' ega: |
||
: <math>\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \,,\quad \dot{\phi}\equiv\frac{\partial \phi}{\partial t}\,,</math> |
: <math>\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \,,\quad \dot{\phi}\equiv\frac{\partial \phi}{\partial t}\,,</math> |
||
bunda ortiqcha nuqta |
bunda ortiqcha nuqta jami vaqt hosilasi {{Math|''d''/''dt''}} emas, balki vaqt hosilasi {{Math|∂/∂''t''}} ni bildiradi. |
||
=== |
=== Koʻp skalyar maydonlar === |
||
Koʻpgina {{Math|''φ<sub>i</sub>''('''x''', ''t'')}} va ularning koʻpaytmalari {{Math|''π<sub>i</sub>''('''x''', ''t'')}} uchun Gamilton zichligi ularning barchasiga bogʻliq: |
|||
: <math>\mathcal{H}(\phi_1, \phi_2, \ldots, \pi_1, \pi_2, \ldots, \mathbf{x},t)= \sum_i\dot{\phi_i}\pi_i - \mathcal{L}(\phi_1,\phi_2,\ldots \nabla\phi_1,\nabla\phi_2,\ldots, \partial \phi_1/\partial t ,\partial \phi_2/\partial t ,\ldots, \mathbf{x},t)\,.</math> |
: <math>\mathcal{H}(\phi_1, \phi_2, \ldots, \pi_1, \pi_2, \ldots, \mathbf{x},t)= \sum_i\dot{\phi_i}\pi_i - \mathcal{L}(\phi_1,\phi_2,\ldots \nabla\phi_1,\nabla\phi_2,\ldots, \partial \phi_1/\partial t ,\partial \phi_2/\partial t ,\ldots, \mathbf{x},t)\,.</math> |
||
bu yerda har bir |
bu yerda har bir koʻpaytma maydon oʻz maydoniga nisbatan aniqlanadi, |
||
: <math>\pi_i(\mathbf{x},t) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}_i} \,.</math> |
: <math>\pi_i(\mathbf{x},t) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}_i} \,.</math> |
||
Umuman olganda, har qanday sonli maydonlar uchun Gamilton zichligining hajm integrali Gamiltonianni uchta fazoviy |
Umuman olganda, har qanday sonli maydonlar uchun Gamilton zichligining hajm integrali Gamiltonianni uchta fazoviy oʻlchovda beradi: |
||
: <math>H = \int \mathcal{H} \ d^3 x \,.</math> |
: <math>H = \int \mathcal{H} \ d^3 x \,.</math> |
||
Gamilton zichligi fazoviy hajm birligi uchun Gamiltonian hisoblanadi. Tegishli |
Gamilton zichligi fazoviy hajm birligi uchun Gamiltonian hisoblanadi. Tegishli oʻlcham [energiya][uzunlik] <sup>−3</sup>, [[Xalqaro birliklar tizimi|SI birliklarida]] kubometr uchun Joul, J m <sup>−3</sup> . |
||
=== Tensor va spinor maydonlari === |
=== Tensor va spinor maydonlari === |
||
Yuqoridagi tenglamalar va |
Yuqoridagi tenglamalar va taʼriflar [[Vektor maydon|vektor maydonlariga]] va umuman tensor maydonlariga va spinor maydonlariga kengaytirilishi mumkin. Fizikada tenzor maydonlari [[Bozon|bozonlarni]], spinor maydonlari esa [[Fermion|fermionlarni]] tavsiflaydi. |
||
Harakat tenglamalari |
== Harakat tenglamalari == |
||
Maydonlar uchun [[harakat tenglamalari]] diskret zarralar uchun Gamilton tenglamalariga |
Maydonlar uchun [[harakat tenglamalari]] diskret zarralar uchun Gamilton tenglamalariga oʻxshaydi. Har qanday miqdordagi maydonlar uchun: |
||
⚫ | |||
jadvalcha |
|||
bu yerda yana ortiqcha nuqtalar qisman vaqt hosilalari, maydonlarga nisbatan variatsion hosila. |
bu yerda yana ortiqcha nuqtalar qisman vaqt hosilalari, maydonlarga nisbatan variatsion hosila. |
||
⚫ | |||
: <math>\frac{\delta}{\delta \phi_i} = \frac{\partial}{\partial \phi_i} - \nabla\cdot \frac{\partial }{\partial (\nabla \phi_i)} \,,</math> |
: <math>\frac{\delta}{\delta \phi_i} = \frac{\partial}{\partial \phi_i} - \nabla\cdot \frac{\partial }{\partial (\nabla \phi_i)} \,,</math> |
||
bilan · [[Skalyar koʻpaytmasi|nuqta mahsuloti]], shunchaki qisman hosilalar |
bilan · [[Skalyar koʻpaytmasi|nuqta mahsuloti]], shunchaki qisman hosilalar oʻrniga ishlatilishi kerak. |
||
== Faza maydoni == |
== Faza maydoni == |
||
Maydonlar {{Math|''φ<sub>i</sub>''}} va konjugatlar {{Math|''π<sub>i</sub>''}} cheksiz |
Maydonlar {{Math|''φ<sub>i</sub>''}} va konjugatlar {{Math|''π<sub>i</sub>''}} cheksiz oʻlchovli fazali fazoni hosil qiladi, chunki maydonlar cheksiz miqdordagi erkinlik darajasiga ega. |
||
Poisson(Puasson) |
=== Poisson(Puasson) qavsi === |
||
{{Math|''φ<sub>i</sub>''}} va {{Math|''π<sub>i</sub>''}} maydonlariga, ularning fazoviy hosilalariga, fazo va vaqt koordinatalariga |
{{Math|''φ<sub>i</sub>''}} va {{Math|''π<sub>i</sub>''}} maydonlariga, ularning fazoviy hosilalariga, fazo va vaqt koordinatalariga bogʻliq boʻlgan ikkita funksiya uchun, |
||
: <math> A = \int d^3 x \mathcal{A}\left(\phi_1,\phi_2,\ldots,\pi_1,\pi_2,\ldots,\nabla\phi_1,\nabla\phi_2,\ldots,\nabla\pi_1,\nabla\pi_2,\ldots,\mathbf{x},t\right)\,,</math> |
: <math> A = \int d^3 x \mathcal{A}\left(\phi_1,\phi_2,\ldots,\pi_1,\pi_2,\ldots,\nabla\phi_1,\nabla\phi_2,\ldots,\nabla\pi_1,\nabla\pi_2,\ldots,\mathbf{x},t\right)\,,</math> |
||
Qator 74: | Qator 65: | ||
: <math> \frac{\delta \mathcal{F}}{\delta f} = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial f} - \sum_i \nabla_i \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial (\nabla_i f)} \,.</math> |
: <math> \frac{\delta \mathcal{F}}{\delta f} = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial f} - \sum_i \nabla_i \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial (\nabla_i f)} \,.</math> |
||
Yer yuzasida |
Yer yuzasida yoʻqolgan maydonlarning bir xil sharoitlarida {{Math|''A''}} ning vaqt evolyutsiyasi uchun quyidagi natija amal qiladi (xuddi {{Math|''B''}} uchun): |
||
: <math>\frac{dA}{dt} = [A,H] + \frac{\partial A}{\partial t}</math> |
: <math>\frac{dA}{dt} = [A,H] + \frac{\partial A}{\partial t}</math> |
||
Buni {{Math|''A''}} ning umumiy vaqt hosilasidan, qismlar |
Buni {{Math|''A''}} ning umumiy vaqt hosilasidan, qismlar boʻyicha integratsiyadan va yuqoridagi Puasson qavs yordamida topish mumkin. |
||
== Aniq vaqt mustaqilligi == |
== Aniq vaqt mustaqilligi == |
||
Lagranj va Gamilton zichligi aniq vaqtga |
Lagranj va Gamilton zichligi aniq vaqtga bogʻliq boʻlmasa, quyidagi natijalar toʻgʻri boʻladi (ular maydonlar va ularning hosilalari orqali aniq vaqtga bogʻliq boʻlishi mumkin), |
||
Kinetik va potensial energiya zichligi |
== Kinetik va potensial energiya zichligi == |
||
Gamilton zichligi |
Gamilton zichligi — umumiy energiya zichligi, kinetik energiya zichligi yigʻindisi (<math>\mathcal{T}</math>) va potensial energiya zichligi (<math>\mathcal{V}</math>), |
||
: <math>\mathcal{H} = \mathcal{T}+\mathcal{V}\,.</math> |
: <math>\mathcal{H} = \mathcal{T}+\mathcal{V}\,.</math> |
||
=== Uzluksizlik tenglamasi === |
=== Uzluksizlik tenglamasi === |
||
Yuqoridagi Gamilton zichligi |
Yuqoridagi Gamilton zichligi taʼrifining qisman vaqt hosilasini olib, yashirin differensiatsiya va koʻpaytma impuls maydonini aniqlash uchun zanjir qoidasidan foydalanib, uzluksizlik tenglamasini beradi: |
||
: <math>\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{S}=0</math> |
: <math>\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{S}=0</math> |
||
bunda Gamilton zichligi energiya zichligi sifatida talqin qilinishi mumkin, va |
bunda Gamilton zichligi energiya zichligi sifatida talqin qilinishi mumkin, va |
||
: <math>\mathbf{S} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\nabla\phi)}\frac{\partial \phi}{\partial t}</math> |
: <math>\mathbf{S} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\nabla\phi)}\frac{\partial \phi}{\partial t}</math> |
||
Qator 105: | Qator 94: | ||
'''Kovariant Gamilton maydon nazariyasi''' Gamilton maydon nazariyasining [[Nisbiylik nazariyasi|relyativistik]] formulasidir. |
'''Kovariant Gamilton maydon nazariyasi''' Gamilton maydon nazariyasining [[Nisbiylik nazariyasi|relyativistik]] formulasidir. |
||
Gamilton maydon nazariyasi odatda klassik maydon nazariyasiga |
Gamilton maydon nazariyasi odatda klassik maydon nazariyasiga qoʻllanganda simplektik Gamilton formalizmini anglatadi, bu cheksiz oʻlchovli fazali fazoda bir lahzali Gamilton formalizmi shaklini oladi va kanonik koordinatalar vaqtning bir lahzasida maydon funktsiyalari hisoblanadi<ref>Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in „Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange“ (North Holland, 1991).</ref>. Bu Gamilton formalizmi [[Maydon kvant nazariyasi|maydonlarni kvantlashda]], masalan, kvant oʻlchov nazariyasida qoʻllaniladi. Kovariant Gamilton maydon nazariyasida kanonik moment ''p<sup>m</sup><sub>i</sub>'' barcha dunyo koordinatalariga nisbatan maydonlarning hosilalariga mos keladi ''x<sup>m</sup>''. Kovariant Gamilton tenglamalari giperregular Lagranjlar holatida Eyler-Lagranj tenglamalariga ekvivalentdir. Kovariant Gamilton maydon nazariyasi Gamilton-De Donder, polisimplektik, multisimplektik va ''k'' -simplektik<ref>Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. '''43''' (2002) 93.</ref> <ref>Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. '''41''' (2002) 7402.</ref> <ref>Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther’s formalism (''k''-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. '''46''' (2005) 052901.</ref> variantlarda ishlab chiqilgan. Kovariant Gamilton maydon nazariyasining faza fazosi chekli oʻlchovli polisimplektik yoki koʻp simplektik manifolddir. |
||
Gamiltonning avtonom |
Gamiltonning avtonom boʻlmagan mexanikasi vaqt oʻqi boʻyicha tolalar toʻplamlarida, yaʼni [[Sonlar oʻqi|haqiqiy chiziq]] ℝ boʻyicha kovariant Gamilton maydon nazariyasi sifatida tuzilgan. |
||
== Manbalar == |
|||
{{reflist}} |
|||
==Adabiyotlar== |
|||
* {{cite book| isbn=978-3-319-59694-5 |last1=Badin|first1=G.|last2=Crisciani|first2=F.| title=Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws - | publisher=Springer| year=2018 | pages=218 | doi= 10.1007/978-3-319-59695-2|bibcode=2018vffg.book.....B |s2cid=125902566 }} |
|||
*{{cite book |last1=Goldstein |first1=Herbert |authorlink1=Herbert Goldstein | title=Classical Mechanics |edition=2nd |year=1980|isbn= 0201029189|publisher=Addison Wesley |chapter=Chapter 12: Continuous Systems and Fields|location=San Francisco, CA |pages=562–565}} |
|||
*{{citation|last1=Greiner|first1=W.|authorlink1=Walter Greiner|last2=Reinhardt|first2=J.|year=1996|title=Field Quantization|publisher=Springer|isbn=3-540-59179-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/fieldquantizatio0000grei}} |
|||
*{{cite book |last1=Fetter|first1=A. L.|last2=Walecka|first2=J. D.| title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua|year=1980|isbn= 978-0-486-43261-8|publisher=Dover|pages=258–259}} |
|||
[[Turkum:Mexanika]] |
[[Turkum:Mexanika]] |
8-Avgust 2023, 14:45 dagi koʻrinishi
Nazariy fizikada Gamilton maydon nazariyasi klassik Gamilton mexanikasining maydon-nazariy analogidir. Bu Lagrangian maydon nazariyasi bilan bir qatorda klassik maydon nazariyasidagi formalizmdir. Bundan tashqari , kvant maydon nazariyasida ilovalar mavjud.
Taʼrif
Diskret zarrachalar sistemasi uchun Gamiltonian ularning umumiy koordinatalari va koʻpaytma impulslari va, ehtimol, vaqtning funksiyasidir. Continua va maydonlar uchun Gamilton mexanikasi mos emas, lekin koʻp sonli nuqta massalarini hisobga olgan holda va uzluksiz chegarani, yaʼni doimiylik yoki maydonni tashkil etuvchi cheksiz koʻp zarralarni hisobga olgan holda kengaytirilishi mumkin. Har bir nuqta massasi bir yoki bir nechta erkinlik darajasiga ega boʻlganligi sababli, maydon formulasi cheksiz koʻp erkinlik darajasiga ega.
Bitta skalyar maydon
Gamilton zichligi maydonlar uchun uzluksiz analog hisoblanadi; bu maydonlarning funksiyasi, koʻpaytma „impuls“ maydonlari va, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini muvofiqlashtiradi. Bitta skalyar maydon φ(x, t) uchun Gamilton zichligi Lagranj zichligidan bilan aniqlanadi:
∇ "del" yoki „nabla“ operatori bilan x — fazodagi biron bir nuqtaning pozitsiya vektori va t — vaqt . Lagranj zichligi — bu tizimdagi maydonlar, ularning fazo va vaqt hosilalari, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini koordinatalari. U umumlashtirilgan koordinatalar bilan tasvirlangan diskret zarralar tizimi uchun Lagranj funksiyasining maydon analogidir.
Har bir umumlashtirilgan koordinata mos keladigan umumiy impulsga ega boʻlgan Gamilton mexanikasida boʻlgani kabi, φ(x, t) maydoni Lagranj zichligining vaqt hosilasiga nisbatan qisman hosilasi sifatida aniqlangan π(x, t) ko‘paytma impuls maydoniga ega:
bunda ortiqcha nuqta jami vaqt hosilasi d/dt emas, balki vaqt hosilasi ∂/∂t ni bildiradi.
Koʻp skalyar maydonlar
Koʻpgina φi(x, t) va ularning koʻpaytmalari πi(x, t) uchun Gamilton zichligi ularning barchasiga bogʻliq:
bu yerda har bir koʻpaytma maydon oʻz maydoniga nisbatan aniqlanadi,
Umuman olganda, har qanday sonli maydonlar uchun Gamilton zichligining hajm integrali Gamiltonianni uchta fazoviy oʻlchovda beradi:
Gamilton zichligi fazoviy hajm birligi uchun Gamiltonian hisoblanadi. Tegishli oʻlcham [energiya][uzunlik] −3, SI birliklarida kubometr uchun Joul, J m −3 .
Tensor va spinor maydonlari
Yuqoridagi tenglamalar va taʼriflar vektor maydonlariga va umuman tensor maydonlariga va spinor maydonlariga kengaytirilishi mumkin. Fizikada tenzor maydonlari bozonlarni, spinor maydonlari esa fermionlarni tavsiflaydi.
Harakat tenglamalari
Maydonlar uchun harakat tenglamalari diskret zarralar uchun Gamilton tenglamalariga oʻxshaydi. Har qanday miqdordagi maydonlar uchun:
bu yerda yana ortiqcha nuqtalar qisman vaqt hosilalari, maydonlarga nisbatan variatsion hosila.
bilan · nuqta mahsuloti, shunchaki qisman hosilalar oʻrniga ishlatilishi kerak.
Faza maydoni
Maydonlar φi va konjugatlar πi cheksiz oʻlchovli fazali fazoni hosil qiladi, chunki maydonlar cheksiz miqdordagi erkinlik darajasiga ega.
Poisson(Puasson) qavsi
φi va πi maydonlariga, ularning fazoviy hosilalariga, fazo va vaqt koordinatalariga bogʻliq boʻlgan ikkita funksiya uchun,
va maydonlar integrallar qabul qilingan hajm chegarasida nolga teng, maydon nazariy Puasson qavs sifatida aniqlanadi (kvant mexanikasidan kommutator bilan adashtirmaslik kerak)[1].
bu yerda variatsion hosiladir
Yer yuzasida yoʻqolgan maydonlarning bir xil sharoitlarida A ning vaqt evolyutsiyasi uchun quyidagi natija amal qiladi (xuddi B uchun):
Buni A ning umumiy vaqt hosilasidan, qismlar boʻyicha integratsiyadan va yuqoridagi Puasson qavs yordamida topish mumkin.
Aniq vaqt mustaqilligi
Lagranj va Gamilton zichligi aniq vaqtga bogʻliq boʻlmasa, quyidagi natijalar toʻgʻri boʻladi (ular maydonlar va ularning hosilalari orqali aniq vaqtga bogʻliq boʻlishi mumkin),
Kinetik va potensial energiya zichligi
Gamilton zichligi — umumiy energiya zichligi, kinetik energiya zichligi yigʻindisi () va potensial energiya zichligi (),
Uzluksizlik tenglamasi
Yuqoridagi Gamilton zichligi taʼrifining qisman vaqt hosilasini olib, yashirin differensiatsiya va koʻpaytma impuls maydonini aniqlash uchun zanjir qoidasidan foydalanib, uzluksizlik tenglamasini beradi:
bunda Gamilton zichligi energiya zichligi sifatida talqin qilinishi mumkin, va
energiya oqimi yoki birlik sirt maydoniga vaqt birligidagi energiya oqimi.
Relyativistik maydon nazariyasi
Kovariant Gamilton maydon nazariyasi Gamilton maydon nazariyasining relyativistik formulasidir.
Gamilton maydon nazariyasi odatda klassik maydon nazariyasiga qoʻllanganda simplektik Gamilton formalizmini anglatadi, bu cheksiz oʻlchovli fazali fazoda bir lahzali Gamilton formalizmi shaklini oladi va kanonik koordinatalar vaqtning bir lahzasida maydon funktsiyalari hisoblanadi[2]. Bu Gamilton formalizmi maydonlarni kvantlashda, masalan, kvant oʻlchov nazariyasida qoʻllaniladi. Kovariant Gamilton maydon nazariyasida kanonik moment pmi barcha dunyo koordinatalariga nisbatan maydonlarning hosilalariga mos keladi xm. Kovariant Gamilton tenglamalari giperregular Lagranjlar holatida Eyler-Lagranj tenglamalariga ekvivalentdir. Kovariant Gamilton maydon nazariyasi Gamilton-De Donder, polisimplektik, multisimplektik va k -simplektik[3] [4] [5] variantlarda ishlab chiqilgan. Kovariant Gamilton maydon nazariyasining faza fazosi chekli oʻlchovli polisimplektik yoki koʻp simplektik manifolddir.
Gamiltonning avtonom boʻlmagan mexanikasi vaqt oʻqi boʻyicha tolalar toʻplamlarida, yaʼni haqiqiy chiziq ℝ boʻyicha kovariant Gamilton maydon nazariyasi sifatida tuzilgan.
Manbalar
- ↑ Greiner & Reinhardt 1996, Chapter 2
- ↑ Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in „Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange“ (North Holland, 1991).
- ↑ Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
- ↑ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
- ↑ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther’s formalism (k-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.
Adabiyotlar
- Badin, G.; Crisciani, F.. Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer, 2018 — 218 bet. DOI:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
- Goldstein, Herbert „Chapter 12: Continuous Systems and Fields“,. Classical Mechanics, 2nd, San Francisco, CA: Addison Wesley, 1980 — 562–565 bet. ISBN 0201029189.
- Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 3-540-59179-6
- Fetter, A. L.; Walecka, J. D.. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover, 1980 — 258–259 bet. ISBN 978-0-486-43261-8.