Xayoliy kuch

Xayoliy kuch — bu chiziqli tezlatuvchi yoki aylanuvchi mos yozuvlar tizimi kabi inersial boʻlmagan mos yozuvlar tizimi yordamida harakati tasvirlangan massaga taʼsir qiladigan kuch. Bu Nyutonning ikkinchi harakat qonuni bilan bogʻliq boʻlib, u faqat bitta ob’ekt uchun kuchlarni koʻrib chiqadi.

Oldinga yoʻnalishda tezlashayotgan transport vositasidagi yoʻlovchilar, masalan, ularni oʻrindiqlari suyanchigʻi yoʻnalishi boʻyicha harakatlantirayotgan kuch tomonidan harakat qilishini sezishlari mumkin. Aylanadigan mos yozuvlar ramkasiga misol qilib, u ob’ektlarni sentrifuga yoki karuselning chetiga qarab harakatlantiruvchi kuch ekanligi haqidagi taassurot boʻlishi mumkin.

Pseudo kuch deb ataladigan xayoliy kuchni tana kuchi deb ham atash mumkin. Bu ob’ektning inertsiyasiga bogʻliq boʻlib, agar mos yozuvlar tizimi endi inertial harakat qilmaydi, lekin erkin ob’ektga nisbatan tezlasha boshlaydi. Yoʻlovchi avtomobili misolida, avtomobildagi oʻrindiqning suyanchigʻiga kuzov tegishidan oldin psevdo kuch faol boʻlib tuyuladi. Mashinada oldinga egilgan odam, orqa oʻrindiqga tegmasdan oldin, tezlashayotgan mashinaga nisbatan bir oz orqaga harakat qiladi. Bu qisqa davrdagi harakat shunchaki odamga kuch taʼsirining natijasi boʻlib tuyuladi; yaʼni, bu psevdo kuchdir. Soxta kuch ikki jism oʻrtasidagi har qanday jismoniy oʻzaro taʼsirdan, masalan, elektromagnit yoki kontakt kuchlaridan kelib chiqmaydi. Bu shunchaki inertial boʻlmagan mos yozuvlar tizimi ulangan jismoniy ob’ektning a tezlanishining natijasi, yaʼni bu holda transport vositasi. Tegishli tezlashtiruvchi ramka nuqtai nazaridan, inert ob’ektning tezlashishi mavjud boʻlib koʻrinadi, buning uchun „kuch“ kerak boʻladi.

Iro aytganidek:

Ikki mos yozuvlar tizimining bir xil boʻlmagan nisbiy harakati tufayli yuzaga keladigan bunday qoʻshimcha kuch psevdo-kuch deb ataladi.

— Harald Iro klassik mexanikaga zamonaviy yondashuvda 180-bet.

Xayoliy kuchlarning matematik hosilasi

2-rasm: _A inertial ramkada x A da joylashgan ob’ekt B tezlatuvchi ramkada x _B joyida joylashgan. B ramkaning kelib chiqishi A ramkada X _AB da joylashgan. B ramkaning yoʻnalishi uning koordinata yoʻnalishlari boʻyicha birlik vektorlari bilan aniqlanadi, u _j bilan j = 1, 2, 3. Ushbu oʻqlardan foydalanib, ob’ektning B ramkaga muvofiq koordinatalari x _B = (x ₁, x ₂, x ₃).

Umumiy kelib chiqish

Koʻpgina muammolar noinertial mos yozuvlar tizimidan foydalanishni talab qiladi, masalan, sunʼiy yoʻldoshlar va zarracha tezlatgichlari . 2-rasmda maʼlum bir inertial sistemada m massali va x _A (t) pozitsiya vektoriga ega boʻlgan zarra koʻrsatilgan. Inersiyaga nisbatan kelib chiqishi X _AB (t) bilan berilgan inertial boʻlmagan B ramkani koʻrib chiqaylik. Zarrachaning B ramkadagi oʻrni x _B (t) boʻlsin. B ramkaning koordinata sistemasida ifodalangan zarrachaga taʼsir etuvchi kuch nimaga teng ?

Bu savolga javob berish uchun B dagi koordinata oʻqini u _j birlik vektorlari bilan j { ning istalgan biri bilan ifodalansin. 1, 2, 3 } uchta koordinata oʻqi uchun. Keyin

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

Bu tenglamaning talqini shundan iboratki, x _B zarrachaning t vaqtidagi B ramkadagi koordinatalari bilan ifodalangan vektor siljishidir. A ramkadan zarracha quyidagi joyda joylashgan:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

Bundan tashqari, birlik vektorlar { u _j } kattalikni oʻzgartira olmaydi, shuning uchun bu vektorlarning hosilalari faqat B koordinata tizimining aylanishini ifodalaydi. Boshqa tomondan, X _AB vektori shunchaki A ramkaga nisbatan B ramkaning boshlangʻich joyini aniqlaydi va shuning uchun B ramkaning aylanishini oʻz ichiga olmaydi.

Vaqt hosilasini olib, zarrachaning tezligi:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.$

Ikkinchi muddatli yigʻindi zarrachaning tezligi, deylik _, V ramkada oʻlchangan v B. Yaʼni:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

Ushbu tenglamaning talqini shundan iboratki, A ramkadagi kuzatuvchilar tomonidan koʻrilgan zarrachaning tezligi B ramkadagi kuzatuvchilar tezlik deb ataydigan narsadan, yaʼni v _B dan, shuningdek, V ramka koordinata oʻqlarining oʻzgarish tezligiga bogʻliq ikkita qoʻshimcha shartdan iborat. . Ulardan biri oddiygina harakatlanuvchi boshlanish tezligi v_AB . Ikkinchisi — inertial boʻlmagan ramkaning turli joylari ramkaning aylanishi tufayli turli xil koʻrinadigan tezliklarga ega boʻlganligi sababli tezlikka hissa; aylanuvchi ramkadan koʻrinadigan nuqta tezlikning aylanish komponentiga ega boʻlib, nuqta boshlangʻich nuqtadan qanchalik uzoq boʻlsa, shuncha katta boʻladi.

Tezlanishni topish uchun boshqa vaqtni farqlash quyidagilarni taʼminlaydi:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

X _B ning vaqt hosilasi uchun allaqachon ishlatilgan formuladan foydalanib, oʻngdagi tezlik hosilasi:

${\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

Binobarin,

$${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},(1)$$

Bu tenglamaning talqini quyidagicha: zarrachaning A ramkadagi tezlanishi B ramkadagi kuzatuvchilar zarracha tezlanishini a _B deb atagan narsadan iborat, lekin bundan tashqari, B ramka koordinatasi harakati bilan bogʻliq uchta tezlanish atamasi mavjud. oʻqlar: B ramkaning kelib chiqishi tezlashishi bilan _{bogʻliq bir atama, yaʼni AB} va B ramkaning aylanishi bilan bogʻliq ikkita atama. Binobarin, B dagi kuzatuvchilar zarracha harakatini „qoʻshimcha“ tezlanishga ega deb koʻradilar. Bu zarrachaga taʼsir qiluvchi „kuchlar“ga tegishli, ammo Adagi kuzatuvchilar „hayoviy“ kuchlar, chunki B dagi kuzatuvchilar B ramkaning inertial boʻlmagan tabiatini tan olmaydilar.

Koriolis kuchidagi ikkita omil ikkita teng hissadan kelib chiqadi: (i) vaqt oʻtishi bilan inertial doimiy tezlikning koʻrinadigan oʻzgarishi, chunki aylanish tezlikning yoʻnalishini oʻzgartirganday qiladi (a d v _B / d t muddatli) va (ii) jismning joylashuvi oʻzgarganda, uni aylanish oʻqiga yaqinroq yoki uzoqroqqa qoʻyganda tezligining koʻrinadigan oʻzgarishi (oʻzgarish ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$ x _j ning oʻzgarishi tufayli).

Masalalarni kuchlar boʻyicha qoʻyish uchun tezlanishlar zarracha massasiga koʻpaytiriladi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

B ramkada kuzatilgan kuch F _B = m a _B zarracha F _A haqiqiy kuch bilan bogʻliq.

$\mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },$

bu yerda:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.$

Shunday qilib, muammolarni Nyutonning ikkinchi qonuni (bu ramkadagi miqdorlarga nisbatan) amal qiladi deb faraz qilish va F _xayoliylikni qoʻshimcha kuch sifatida koʻrib chiqish orqali B ramkada muammolarni hal qilish mumkin .

Quyida ushbu natijani xayoliy kuchlar uchun qoʻllaydigan bir qator misollar keltirilgan. Batafsil misollarni markazdan qochma kuchi haqidagi maqolada topish mumkin.

Aylanadigan koordinata tizimlari

Noinertial mos yozuvlar tizimi foydali boʻlgan keng tarqalgan holat mos yozuvlar tizimi aylanayotganda boʻladi. Bunday aylanish harakati inertial boʻlmaganligi sababli, har qanday aylanish harakatida mavjud boʻlgan tezlanish tufayli, har doim aylanish mos yozuvlar tizimidan foydalanib, xayoliy kuchni chaqirish mumkin. Ushbu murakkablikka qaramasdan, xayoliy kuchlardan foydalanish koʻpincha hisob-kitoblarni soddalashtiradi.

Xayoliy kuchlar uchun ifodalarni olish uchun koordinata oʻqlarining vaqt oʻzgarishini hisobga oladigan vektorlar oʻzgarishining koʻrinadigan vaqt tezligi uchun hosilalar kerak. Agar 'B' ramkaning aylanishi aylanish oʻqi boʻylab yoʻnaltirilgan Ω vektor bilan ifodalangan boʻlsa, oʻng qoʻl qoidasi tomonidan berilgan yoʻnalish va tomonidan berilgan kattalik bilan.

$|{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),$

u holda B ramkani tavsiflovchi uchta birlik vektordan istalganining vaqt hosilasi ga teng.

${\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),$

va

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],$

kabi vektor oʻzaro mahsulot xususiyatlari yordamida tasdiqlangan. Endi bu hosila formulalar inertial sistemadagi tezlanish va vaqt boʻyicha oʻzgaruvchan burchak tezligi ω(t) bilan aylanadigan koordinata ramkasidagi tezlanish oʻrtasidagi munosabatga nisbatan qoʻllaniladi. Oldingi boʻlimdan, bu erda A pastki belgisi inertial ramkaga va B aylanadigan ramkaga tegishli boʻlib, har qanday tarjima tezlanishini olib tashlash uchun AB = 0 ni oʻrnatadi va faqat aylanish xususiyatlariga eʼtibor qaratadi (1 tenglamaga qarang):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},$

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}$

Terminlarni toʻplash natijasida tezlashuv transformatsiyasi formulasi paydo boʻladi:

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.$

A inertial sistemasidagi kuzatuvchilar ob’ektga haqiqiy tashqi kuchlar deb ataydigan jismoniy tezlanish a A, shuning uchun B aylanish ramkasidagi kuzatuvchilar tomonidan koʻriladigan a _B tezlanishi emas, balki bir nechta qoʻshimcha geometrik tezlanish shartlari bilan bogʻliq. B ning aylanishi. Aylanma ramkada koʻrinib turganidek, zarrachaning a _B tezlanishi yuqoridagi tenglamani quyidagicha qayta tartibga solish orqali aniqlanadi:

$\mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

Aylanadigan ramkadagi kuzatuvchilarga koʻra ob’ektga aniq kuch F _B = m a _B dir. Agar ularning kuzatishlari Nyuton qonunlaridan foydalanganda ob’ektga toʻgʻri kuch taʼsir qilishiga olib keladigan boʻlsa, ular qoʻshimcha kuch F _fict mavjudligini hisobga olishlari kerak, shuning uchun yakuniy natija F _B = F _A + F _fict boʻladi. Shunday qilib, Nyuton qonunlaridan ob’ektning toʻgʻri harakatini olish uchun B dagi kuzatuvchilar tomonidan qoʻllaniladigan xayoliy kuch teng:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

Bu yerda birinchi haddan Koriolis kuchi, ikkinchi haddan markazdan qochma kuch, uchinchi haddan Eyler kuchi .

Orbital koordinata tizimlari

Tegishli misol sifatida, harakatlanuvchi koordinatalar tizimi B oʻzgarmas burchak tezligida Ω radiusi R boʻlgan aylana boʻylab A inertial ramkaning qoʻzgʻalmas boshi atrofida aylansin, lekin 3-rasmda boʻlgani kabi oʻzining koordinata oʻqlarini yoʻnaltirilgan holda saqlaydi deylik. Kuzatilgan jismning tezlashishi hozir (1-betga qarang):

3-rasm: Uch xil vaqtda koʻrsatilgan orbital, lekin sobit orientatsiya koordinata tizimi B. U _j, j = 1, 2, 3 birlik vektorlari aylanmaydi, lekin qatʼiy yoʻnalishni saqlaydi, B koordinata tizimining boshi esa qoʻzgʻalmas oʻq atrofida Ω doimiy burchak tezligida harakat qiladi. Ω oʻqi A inertial ramkaning kelib chiqishidan oʻtadi, shuning uchun B ramkaning kelib chiqishi A inertial ramkaning kelib chiqishidan R sobit masofadir.

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}$

bu yerda yigʻindilar nolga teng, chunki birlik vektorlari vaqtga bogʻliq emas. B tizimining kelib chiqishi A ramkaga muvofiq quyidagi manzilda joylashgan:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

B ramkaning kelib chiqish tezligiga olib keladi:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\,$

B ning kelib chiqishining tezlashishiga olib keladi:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.$

Chunki birinchi atama, yaʼni

$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,$

oddiy markazdan qochma kuch ifodasi bilan bir xil shaklga ega:

${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$

bu atamani „markazdan qochma kuch“ deb atash standart terminologiyaning tabiiy kengaytmasidir (garchi bu holat uchun standart terminologiya mavjud emas). Qanday terminologiya qabul qilingan boʻlishidan qatʼi nazar, B ramkasidagi kuzatuvchilar bu safar butun koordinata ramkasining orbital harakatidan tezlashishi tufayli, yaʼni ularning koordinata tizimining kelib chiqishining aylanish markazidan radial ravishda tashqariga qarab, xayoliy kuchni kiritishlari kerak:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,$

va kattaligi:

$|\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.$

Ushbu „markazdan qochma kuch“ aylanadigan ramka holatidan farqlarga ega. Aylanadigan ramkada markazdan qochma kuchi ob’ektning B ramkaning boshlangʻich nuqtasidan masofasiga bogʻliq boʻlsa, orbitadagi ramkada esa markazdan qochma kuchi ob’ektning B ramkaning kelib chiqishidan masofaga bogʻliq emas, lekin Buning oʻrniga, B ramkaning kelib chiqishining uning aylanish markazidan masofasiga bogʻliq boʻlib, B ramkada kuzatilgan barcha ob’ektlar uchun bir xil markazdan qochma xayoliy kuchga olib keladi.

Adabiyotlar

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz. Mechanics, 3rd, Course of Theoretical Physics, Butterworth-Heinenan, 1976 — 128–130 bet. ISBN 0-7506-2896-0. 
• Keith Symon. Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 1971. ISBN 0-201-07392-7. 
• Jerry B. Marion. Classical Dynamics of Particles and Systems. Academic Press, 1970. ISBN 0-12-472252-0. 
• Marcel J. Sidi. Spacecraft Dynamics and Control: A Practical Engineering Approach. Cambridge University Press, 1997 — Chapter 4.8 bet. ISBN 0-521-78780-7. 

Havolalar

• NASAʼs David Stern: Lesson Plans for Teachers #23 on Inertial Forces
• Koriolis kuchi