Aylanadigan sferalar

Isaak Nyutonning aylanuvchi sharlar argumenti haqiqiy aylanish harakatini ikkita bir xil sferalarni birlashtiruvchi ipdagi kuchlanishni kuzatish orqali aniqlash mumkinligini ko'rsatishga harakat qiladi. Dalilning asosi shundan iboratki, barcha kuzatuvchilar ikkita kuzatishni amalga oshiradilar: jismlarni birlashtirgan ipning kuchlanishi (barcha kuzatuvchilar uchun bir xil) va sharlarning aylanish tezligi (aylanish tezligi har xil bo'lgan kuzatuvchilar uchun har xil). . Faqat haqiqiy aylanmaydigan kuzatuvchi uchun ipning tarangligi faqat kuzatilgan aylanish tezligi yordamida tushuntiriladi. Boshqa barcha kuzatuvchilar uchun "tuzatish" (markazdan qochma kuch) talab qilinadi, bu esa kuzatilgan aylanish tezligidan foydalangan holda hisoblangan kuchlanish kutilganidan farq qiladi. Haqiqiy harakat va dam olishning "xususiyatlari, sabablari va oqibatlari" dan olingan beshta dalildan biri bo'lib, uning fikrini qo'llab-quvvatlaydi, bu umuman olganda, haqiqiy harakat va dam olishni boshqa jismlarga nisbatan harakat yoki dam olishning alohida holatlari sifatida belgilash mumkin emas, lekin. o'rniga faqat mutlaq fazoga mos yozuvlar bilan belgilanishi mumkin. Shu bilan bir qatorda, ushbu tajribalar " mutlaq aylanish " deganda nimani anglatishini aniq ta'riflaydi va " nimaga nisbatan aylanish?" Umumiy nisbiylik mutlaq fazodan va sababi tizimdan tashqarida bo'lgan fizikadan, fazo-vaqt geodeziyasi tushunchasidan voz kechadi.

Nazariy tushuntirish

Nyuton mutlaq fazo idrok qilinadigan narsa emasligidan kelib chiqib, biz jismlarning haqiqiy harakatlarini eksperimental tarzda aniqlashimiz mumkinligi haqidagi muammoni hal qilishga qiziqdi. Uning so'zlariga ko'ra, bunday qat'iylikni jismlarning bir-biriga nisbatan ko'rinadigan harakatlarini emas, balki harakatning sabablarini (ya'ni kuchlarni ) kuzatish orqali amalga oshirish mumkin ( chelak argumentida bo'lgani kabi). Sabablarni kuzatish mumkin bo'lgan misol sifatida, agar kosmosda suzib yuruvchi ikkita globus shnur bilan bog'langan bo'lsa, shnurdagi kuchlanish miqdorini o'lchaydi va vaziyatni baholash uchun boshqa hech qanday maslahatlar bo'lmasa, ikkita ob'ektning qanchalik tez harakat qilishini ko'rsatishning o'zi kifoya. umumiy massa markazi atrofida aylanadi. (Bu tajriba kuchni, kuchlanishni kuzatishni o'z ichiga oladi). Shuningdek, aylanish hissi - u soat yo'nalishi bo'yichami yoki teskari yo'nalishda bo'ladimi - globusning qarama-qarshi tomonlariga kuch qo'llash va bu shnurning kuchlanishining oshishi yoki pasayishiga olib kelishini aniqlash orqali aniqlanishi mumkin. (yana kuch ishtirokida). Shu bilan bir qatorda, aylanish hissini globuslarning ko'rinadigan harakatini, oldingi usullarga ko'ra, aylanish holatida emasligi aniqlangan jismlarning fon tizimiga nisbatan o'lchash yo'li bilan aniqlash mumkin. Nyuton vaqti, sobit yulduzlar .

1846 yilda Endryu Motning Nyuton so'zlarining tarjimasida :

We have some arguments to guide us, partly from the apparent motions, which are the differences of the true motions; partly from the forces, which are the causes and effects of the true motions. For instance, if two globes kept at a given distance one from the other, by means of a cord that connects them, were revolved about their common center of gravity; we might, from the tension of the cord, discover the endeavor of the globes to recede from the axis of their motion. ... And thus we might find both the quantity and the determination of this circular motion, even in an immense vacuum, where there was nothing external or sensible with which the globes could be compared.

— Isaac Newton, Principia, Book 1, Scholium

Ushbu taklifni umumlashtirish uchun Borndan iqtibos keltiramiz:

If the earth were at rest, and if, instead, the whole stellar system were to rotate in the opposite sense once around the earth in twenty-four hours, then, according to Newton, the centrifugal forces [presently attributed to the earth's rotation] would not occur.

— Max Born: Einstein's Theory of Relativity, pp. 81-82

Mach argument bilan ba'zi bir muammoga duch kelib, aylanuvchi shar tajribasini hech qachon bo'sh koinotda amalga oshirish mumkin emasligini ta'kidladi, bu erda Nyuton qonunlari amal qilmaydi, shuning uchun tajriba haqiqatan ham bizning koinotimizda sharlar aylanganda nima sodir bo'lishini ko'rsatadi va shuning uchun, masalan, koinotning butun massasiga nisbatan faqat aylanishni ko'rsatishi mumkin .

For me, only relative motions exist…When a body rotates relatively to the fixed stars, centrifugal forces are produced; when it rotates relatively to some different body and not relative to the fixed stars, no centrifugal forces are produced.

— Ernst Mach; as quoted by Ciufolini and Wheeler: Gravitation and Inertia, p. 387

Bu qarama-qarshilikdan qochadigan talqin shundan iboratki, aylanuvchi sharlar tajribasi hech narsaga (masalan, mutlaq fazo yoki qo'zg'almas yulduzlarga) nisbatan aylanishni aniq belgilamaydi; balki eksperiment mutlaq aylanish deb ataladigan harakat bilan nimani anglatishini operatsion ta'rifidir.

1-rasm: Ip bilan bog'langan va ω burchak tezligida aylanadigan ikkita shar. Aylanish tufayli sharlarni bir-biriga bog'lab turgan ip kuchlanish ostida.

2-rasm: Bog'lash ipidagi keskinlik bilan ta'minlangan sferalarga markazlashtirilgan kuchlarni ko'rsatuvchi inertial mos yozuvlar tizimida aylanuvchi sharlarning portlatilgan ko'rinishi.

Argumentini shakllantirish

Ushbu shar misoli Nyuton tomonidan mutlaq fazoga nisbatan aylanishni aniqlashni muhokama qilish uchun ishlatilgan. Ipdagi kuchlanishni hisobga olish uchun zarur bo'lgan xayoliy kuchni tekshirish kuzatuvchi uchun ular aylanyaptimi yoki yo'qmi, deb qaror qilishning bir usuli hisoblanadi - agar xayoliy kuch nolga teng bo'lsa, ular aylanmaydi. (Albatta, gravitron o'yin-kulgi kabi ekstremal holatda, siz aylanayotganingizga ko'p ishontirishga hojat yo'q, lekin Yer yuzasida turganingizda, masala yanada nozikroq) Quyida ushbu kuzatish ortidagi matematik tafsilotlar keltirilgan.

1-rasmda ikkita bir xil sharning ularni birlashtiruvchi ipning markazi atrofida aylanayotgani ko'rsatilgan. Aylanish o'qi o'ng qo'l qoidasi bilan berilgan yo'nalish va aylanish tezligiga teng bo'lgan kattaligi Ω vektor sifatida ko'rsatilgan: Ω| = ω. Aylanishning burchak tezligi ω vaqtga bog'liq bo'lmagan ( bir xil aylanma harakat ) qabul qilinadi. Aylanish tufayli ip kuchlanish ostida. (Qarang: reaktiv markazdan qochma kuch) Keyinchalik bu tizimning tavsifi inertial sistema nuqtai nazaridan va aylanuvchi sanoq sistemasidan keltirilgan.

Inertsial ramka

Ipning o'rta nuqtasida joylashgan inertial ramkani qabul qiling. To'plar bizning koordinata tizimimizning kelib chiqishi haqida aylana bo'ylab harakatlanadi. Avval ikkita to'pdan biriga qarang. Doimiy tezlikda bir tekis harakatlanmaydigan, balki doimiy tezlikda aylana boʻylab harakatlanadigan aylana yoʻlda harakatlanish uchun toʻpga uning tezligi yoʻnalishini doimiy ravishda oʻzgartirib turuvchi kuch kerak boʻladi. Bu kuch ipning yo'nalishi bo'ylab ichkariga yo'naltiriladi va markazga tortuvchi kuch deb ataladi. Boshqa to'p ham xuddi shunday talabga ega, lekin ipning qarama-qarshi uchida bo'lish uchun bir xil o'lchamdagi, lekin yo'nalish bo'yicha qarama-qarshi bo'lgan markazga yo'naltirilgan kuch talab qilinadi(2-rasmga qarang). Bu ikki kuch, shuningdek, 2-rasmda ko'rsatilgan, ipni kuchlanish ostida qo'yib, ip bilan ta'minlanadi.

Aylanadigan ramka

Ipning o'rta nuqtasida aylanadigan ramkani qabul qiling. Faraz qilaylik, ramka sharlar bilan bir xil burchak tezligida aylanadi, shuning uchun to'plar bu aylanadigan ramkada harakatsiz ko'rinadi. To'plar harakat qilmayotganligi sababli, kuzatuvchilar ular dam olishda ekanligini aytishadi. Agar ular Nyutonning inertsiya qonunini qo'llasalar, ular to'plarga hech qanday kuch ta'sir qilmasligini aytishadi, shuning uchun ipni bo'shashtirish kerak. Biroq, ular ipning kuchlanish ostida ekanligini aniq ko'rishadi. (Masalan, ular ipni ajratib, uning o'rtasiga cho'zilib ketadigan buloqni qo'yishlari mumkin edi). Ushbu keskinlikni hisobga olish uchun ular o'zlarining ramkalarida markazdan qochma kuch ikkita sharga ta'sir qilib, ularni bir-biridan ajratib olishni taklif qiladilar. Bu kuch hech qayerdan kelib chiqmaydi - bu aylanuvchi dunyoda shunchaki "hayot haqiqati" va ular kuzatgan hamma narsaga ta'sir qiladi, nafaqat bu sohalarda. Bu hamma joyda mavjud bo'lgan markazdan qochma kuchiga qarshilik ko'rsatishda, sharlar tinch holatda bo'lishiga qaramay, ularning kuzatuvini hisobga olgan holda, ip kuchlanish ostida joylashtiriladi.

Koriolis kuchi

Agar sharlar inertial ramkada aylanmasa- chi (torning kuchlanishi nolga teng)? Keyin aylanadigan ramkadagi ipning kuchlanishi ham nolga teng. Lekin bu qanday bo'lishi mumkin? Aylanadigan ramkadagi sharlar endi aylanayotgandek ko'rinadi va buning uchun ichki kuch talab qilinishi kerak. Bir tekis aylanma harakat tahliliga ko'ra :

$\mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\$

$=-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,$

Bu yerda u_R - aylanish o'qidan sharlarning biriga ishora qiluvchi birlik vektor va Ω - burchakli aylanishni ifodalovchi vektor, o'ng qo'l qoidasi bilan berilgan ω kattaligi va aylanish tekisligiga normal yo'nalish, m to'pning massasi va R - aylanish o'qidan sharlargacha bo'lgan masofa (o'zgartirish vektorining kattaligi, |x_B| = R, sharlarning bir yoki boshqasini joylashtiradigan). Aylanadigan kuzatuvchining fikriga ko'ra, ipning kuchlanishi avvalgidan ikki baravar ko'p bo'lishi kerak emasmi (markazdan qochma kuchdan kelib chiqadigan kuchlanish va markazdan qo'zg'atuvchi aylanish kuchini ta'minlash uchun zarur bo'lgan qo'shimcha kuchlanish)? Aylanuvchi kuzatuvchining nol kuchlanishni ko'rishining sababi, aylanuvchi dunyodagi yana bir xayoliy kuch, harakatlanuvchi jismning tezligiga bog'liq bo'lgan Koriolis kuchidir . Bu nol kuchlanish holatida, aylanuvchi kuzatuvchining fikriga ko'ra, sferalar hozir harakatlanmoqda va Koriolis kuchi (tezlikka bog'liq) faollashadi. Fictitive force maqolasiga ko'ra, Koriolis kuchi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\$

$=-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},$

bu yerda R - aylanish markazidan jismgacha bo'lgan masofa, v_B - Koriolis kuchi ta'sirida jismning tezligi, |v_B| = ωR.

Ushbu misol geometriyasida bu Koriolis kuchi hamma joyda joylashgan markazdan qochma kuchdan ikki baravar kattaroq va yo'nalishi bo'yicha mutlaqo qarama-qarshidir. Shuning uchun, u birinchi misolda topilgan hamma joyda mavjud bo'lgan markazdan qochma kuchni bekor qiladi va bir xil aylanma harakat talab qiladigan markazdan qochma kuchni ta'minlash uchun bir qadam oldinga boradi, shuning uchun aylanuvchi kuzatuvchi ipda kuchlanishning hojati yo'qligini hisoblaydi - Koriolis kuchi hamma narsaga qaraydi.

Umumiy holati

Agar sharlar bir burchak tezligida aylansa, aytaylik ω_I(I = inertsial) va ramka boshqa tezlikda ω_R(R = aylanish) aylansa nima bo'ladi? Inertial kuzatuvchilar dumaloq harakatni ko'radilar va ipdagi taranglik quyidagi sohalarga markazga yo'naltirilgan ichki kuch ta'sir qiladi:

$\mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .$

Bu kuch, shuningdek, aylanuvchi kuzatuvchilar tomonidan ko'rilgan keskinlikdan kelib chiqadigan kuchdir. Aylanadigan kuzatuvchilar sferalarni aylanma harakatda burchak tezligi ω_s = ω_I - ω_R ( S = sharlar) bilan ko'radilar. Ya'ni, agar ramka sharlarga qaraganda sekinroq aylansa, ω_S > 0 va sharlar aylana bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda oldinga siljiydi, tezroq harakatlanuvchi ramka uchun esa ω_S < 0 va sharlar aylana bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha chekinayotgandek ko'rinadi. Ikkala holatda ham aylanuvchi kuzatuvchilar aylanma harakatni ko'radilar va aniq ichkariga markazlashtirilgan kuch talab qiladilar:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .$

Biroq, bu kuch ipning kuchlanishi emas. Shunday qilib, aylanish kuzatuvchilari (inertial kuzatuvchilar uni xayoliy kuch deb ataydigan) kuch mavjud degan xulosaga kelishadi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }\,$

yoki,

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .$

Xayoliy kuch ω_I va ω_S ning qaysi biri kattaroq bo'lishiga qarab belgini o'zgartiradi. Belgining o'zgarishining sababi shundaki, ω_I > ω_S bo'lganda, sharlar haqiqatda aylanuvchi kuzatuvchilar o'lchaganidan tezroq harakat qiladi, shuning uchun ular ipning aslida ular kutganidan kattaroq kuchlanishni o'lchaydilar; demak, xayoliy kuch kuchlanishni oshirishi kerak (tashqariga ishora qiladi). ω_I<ω_S bo'lganda, narsalar teskari bo'ladi, shuning uchun xayoliy kuch kuchlanishni kamaytirishi kerak va shuning uchun qarama-qarshi belgiga ega (ichkariga ishora qiladi).

Xayoliy kuch ad hocmi ?

F_Fict ning kiritilishi aylanma kuzatuvchilar va inertial kuzatuvchilarga ipning kuchlanishi bo'yicha kelishib olish imkonini beradi. Biroq, biz shunday deb so'rashimiz mumkin: "Ushbu yechim boshqa vaziyatlarda umumiy tajribaga mos keladimi yoki bu oddiygina "pishirilgan" maxsus yechimmi?" Bu savolga javob F_Fict uchun bu qiymat umumiy natijaga ( Fictitive kuchda olingan) qanday kvadratlarga to'g'ri kelishini ko'rish orqali beriladi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})$ $\ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .$

B pastki belgisi inertial bo'lmagan koordinatalar tizimiga tegishli miqdorlarni bildiradi. To'liq yozilgan ma'lumotlar Xayoliy kuchda. Doimiy burchak tezligi uchun oxirgi muddat nolga teng. Boshqa shartlarni baholash uchun bizga sohalardan birining pozitsiyasi kerak:

$\mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\,$

va aylanuvchi ramkada ko'rinib turganidek, bu sharning tezligi:

$\mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,$

bu yerda u _th - u _R ga perpendikulyar harakat yo'nalishiga ishora qiluvchi birlik vektor.

Ramka ω_R tezlikda aylanadi, shuning uchun aylanish vektori Ω = ω_R u_z ( u_z a birlik vektor z - yo'nalishda) va Ω × u_R = ω_R (u_z × u_R) = ω_R u_θ; Ω × u_θ = −ω_R u_R. Bunda markazdan qochma kuch:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,$

bu tabiiy ravishda faqat ramkaning aylanish tezligiga bog'liq va har doim tashqarida. Koriolis kuchi

$\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}$

va sharlar ramkadan tezroq harakat qilganda tashqi tomonga (ω_S > 0) va sharlar ramkadan sekinroq harakat qilganda ichkariga (ω_S > 0) bo'ladigan belgini o'zgartirish qobiliyatiga ega. Shartlarni birlashtirish:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }$ $=\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}$

$=m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.$

Binobarin, aylanuvchi sharlar muammosi uchun yuqorida topilgan xayoliy kuch umumiy natijaga mos keladi va bu bitta misol uchun kelishuvga erishish uchun shunchaki “pishirilgan” maxsus yechim emas. Qolaversa, aynan Koriolis kuchi, markazdan qochma kuchning hissasi doimo tashqariga qaraganligi sababli, ω_I, ω_S ning qaysi biri katta bo'lishiga qarab, xayoliy kuchning belgisini o'zgartirishga imkon beradi.

Aylanish va kosmik fon nurlanishi

Koinot fon nurlanishining izotropiyasi koinot aylanmasligining yana bir ko'rsatkichidir.