Aylanish markazi(o‘qi)

1-chizma: Harakatlanuvchi tekislikning oniy P markazi

Tekis harakatlanayotgan jismning lahzali aylanish markazi ( bir lahzali tezlik markazi, oniy markaz yoki tekis siljish qutbi deb ham ataladi) vaqtning ma'lum bir lahzasida nol tezlikka ega bo'lgan nuqtadir. Shu lahzada tananing boshqa nuqtalarining tezlik vektorlari bu aylanish markazi atrofida aylana maydon hosil qiladi, bu sof aylanish natijasida hosil bo'ladigan narsaga o'xshashdir.

Jismning tekislik harakati ko'pincha ikki o'lchovli tekislikda harakatlanadigan tekislik figurasi yordamida tasvirlanadi. Tez markaz - bu harakatlanuvchi tekislikdagi nuqta, uning atrofida boshqa barcha nuqtalar ma'lum bir vaqtning o'zida aylanadi.

Samolyotning uzluksiz harakati vaqt parametrining har bir qiymati uchun tezkor markazga ega. Bu harakatlanuvchi sentrod deb ataladigan egri chiziq hosil qiladi. Ushbu tezkor markazlarga mos keladigan qo'zg'almas tekislikdagi nuqtalar qo'zg'almas tsentrodni tashkil qiladi.

Ushbu kontseptsiyani 3 o'lchovli fazoga umumlashtirish vintni burishdir. Vintda 3D fazoda chiziq bo'lgan o'q bor (kelib chiqishi shart emas), aylanish o'qi; vint, shuningdek, cheklangan qadamga ega (val o'qi atrofida aylanishga mos keladigan o'q bo'ylab o'zgarmas harakat).

Tekis(planar) siljishning qutbi

2-chizma: tekis siljishning qutbi

Tezlik markazini tekis siljish qutbining cheklovchi holati deb hisoblash mumkin.

Jismning 1-pozitsiyadan 2-o'ringa planar joy almashishi, tekislik aylanish va planar translasyon kombinasyonu bilan belgilanadi. Har qanday tekis siljish uchun harakatlanuvchi jismda siljishdan oldin va keyin bir joyda joylashgan nuqta mavjud. Ko'chirishni ushbu qutb atrofida aylanish sifatida ko'rish mumkin.

Planar siljishning qutbi uchun qurilish: Birinchidan, harakatlanuvchi jismda ikkita A va B nuqtani tanlang va ikkita holatda mos keladigan nuqtalarni topamiz(rasmga qarang). Ikki A¹A² va B¹B² segmentlariga perpendikulyar bissektrisalarni tuzing. Bu ikki bissektrisaning P kesishmasi tekis siljishning qutbidir. E'tibor bering, A¹ va A² P atrofida aylanada yotadi. Bu jismning har bir nuqtasining mos keladigan pozitsiyalari uchun to'g'ri keladi.

Agar jismning ikki pozitsiyasi tekis harakatda vaqt lahzasi bilan ajratilsa, siljish qutbi lahzali markazga aylanadi. Bunday holda, A va B nuqtalarining oniy pozitsiyalari o'rtasida tuzilgan segmentlar V_A va V_B tezlik vektorlariga aylanadi. Ushbu tezlik vektorlariga perpendikulyar chiziqlar lahzali markazda kesishadi.

Dekart koordinatalarining algebraik qurilishi $\left(P_{x},P_{y}\right)$ quyidagicha tartibga solish mumkin: O'rta nuqta $A^{1}$ va $A^{2}$ Dekart koordinatalariga ega

$A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),$

va orasidagi o'rta nuqta $B^{1}$ va $B^{2}$ Dekart koordinatalariga ega

$B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).$

Ikki burchakdan $A^{1}$ uchun $A^{2}$ va dan $B^{1}$ uchun $B^{2}$ gorizontalga nisbatan soat miliga teskari o'lchanganlar bilan aniqlanadi:

$\tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}},$

tangensning to'g'ri shoxlarini olish. Markazga ruxsat beramiz $\left(P_{x},P_{y}\right)$ aylanishlarning masofalari bor $d_{A}$ va $d_{B}$ ikkita o'rta nuqtaga. Soat yo'nalishi bo'yicha aylanishni nazarda tutsak (aks holda belgisini almashtiring $\pi /2$ ):

${\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$

Buni 4 noma'lum (ikki masofa) bo'lgan 4 × 4 bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi sifatida qayta yozamiz. $d$ va ikkita koordinata $P$ markazdan):

${\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.$

Aylanish markazining koordinatalari eritma vektorining dastlabki ikki komponentidir

${\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.$

Sof o'zgarish

Agar ikkita pozitsiya orasidagi siljish sof o'zgarish bo'lsa, u holda A¹B¹ va A²B² segmentlarining perpendikulyar bissektrisalari parallel chiziqlar hosil qiladi. Ushbu chiziqlar chiziqning cheksiz nuqtasida kesishadi deb hisoblanadi, shuning uchun bu tekis siljishning qutbi perpendikulyar bissektrisalar yo'nalishi bo'yicha "cheksizlikda yotadi".

Limitda sof o'zgarish parallel bo'lgan nuqta tezligi vektorlari bilan tekis harakatga aylanadi. Bunday holda, lahzali markaz tezlik vektorlariga perpendikulyar yo'nalishda abadiylikda yotadi.

Sirpanmasdan aylanayotgan g'ildirakning markazidagi tezligi

3-chizma: aylanma g'ildirak.

Nuqtalarga bo'lingan aylanuvchi g'ildirakning tezkor aylanish markazi. Aylanadigan g'ildirakni bir nechta nuqtalarga bo'lish orqali g'ildirakning barcha nuqtalari har bir lahzada bitta nuqta atrofida qanday aylanishini osonroq ko'rish mumkin. Bu nuqta qora rangda ko'rsatilgan tezkor aylanish markazidir.

Chiziqli yo'lda sirg'alib ketmasdan aylanayotgan dumaloq g'ildirakning tekis harakatini ko'rib chiqaylik; 3-chizmaga qarang. G'ildirak o'z o'qi M atrofida aylanadi, bu esa yo'lga parallel yo'nalishda aylanadi. G'ildirakning P ning yo'l bilan aloqa nuqtasi sirpanmaydi, ya'ni P nuqtasi yo'lga nisbatan nol tezlikka ega. Shunday qilib, g'ildirakdagi P nuqta yo'l bilan aloqa qilganda, u bir zumda markazga aylanadi.

Tez markazlarga aylanadigan harakatlanuvchi g'ildirakning nuqtalari to'plami harakatlanuvchi tsentrodni belgilaydigan aylananing o'zi. Ruxsat etilgan tekislikdagi bu lahzali markazlarga mos keladigan nuqtalar sobit sentrodni belgilaydigan yo'l chizig'idir.

G'ildirakdagi A nuqtaning tezlik vektori AP segmentiga perpendikulyar va bu segmentning uzunligiga proportsionaldir. Xususan, g‘ildirakdagi nuqtalarning tezliklari g‘ildirakning P atrofida aylanishdagi burchak tezligi bilan aniqlanadi. Bir qator nuqtalarning tezlik vektorlari 3-chizmada tasvirlangan.

G'ildirakdagi nuqta P lahzali markazdan qanchalik uzoqda bo'lsa, uning tezligi proportsional ravishda katta bo'ladi. Shuning uchun g'ildirakning yuqori qismidagi nuqta g'ildirakning M markazi bilan bir xil yo'nalishda harakat qiladi, lekin ikki baravar tezroq, chunki u P dan ikki baravar uzoqroqdir. Barcha nuqtalar radiusga teng masofa. P nuqtadan 'r' g'ildiragi M nuqtasi bilan bir xil tezlikda, lekin turli yo'nalishlarda harakat qiladi. Bu g'ildirakdagi M bilan bir xil tezlikka ega bo'lgan, lekin P atrofidagi aylanaga tangens yo'nalishda harakatlanadigan nuqta uchun ko'rsatilgan.

Ikki kontaktli tekis jismlar uchun nisbiy aylanish markazi

4-chizma: aylanishning nisbiy markaziga misol. C nuqtasida aloqada bo'lgan ikkita jism, biri A atrofida, ikkinchisi esa B atrofida aylanadi, AB chizig'i bo'ylab bir joyda nisbiy aylanish markaziga ega bo'lishi kerak. Qismlar bir-biriga kira olmaganligi sababli, nisbiy aylanish markazi ham kontaktga normal yo'nalish bo'ylab va C orqali bo'lishi kerak. Yagona mumkin bo'lgan yechim, agar nisbiy markaz D da bo'lsa.

Agar ikkita tekis qattiq jismlar aloqada bo'lsa va har bir jismning o'ziga xos aylanish markazi bo'lsa, u holda jismlar orasidagi nisbiy aylanish markazi ikkala markazni bog'laydigan chiziqda biron bir joyda yotishi kerak. Natijada, sof dumalash faqat aylanish markazi aloqa nuqtasida bo'lganda (yuqorida yo'lda g'ildirak bilan ko'rsatilganidek) mavjud bo'lishi mumkinligi sababli, u faqat kontakt nuqtasi ikkita aylanish markazini bog'laydigan chiziqdan o'tganda bo'ladi. toza prokatga erishish mumkin. Bu involyut tishli konstruksiyada viteslar o'rtasida nisbiy siljish bo'lmagan qadam nuqtasi sifatida tanilgan. Aslida, ikkita aylanadigan qism orasidagi tishli nisbati ikki masofaning nisbiy markazga nisbati bilan topiladi. 4-sketchdagi misolda tishli uzatish nisbati $\gamma ={\frac {AD}{BD}}$

MArkazning tez aylanishi va mexanizmlar

Yuqoridagi 1-chizma to'rt chiziqli ulanishni ko'rsatadi, bu erda bir qator tezkor aylanish markazlari tasvirlangan. BAC harflari bilan qayd etilgan qattiq jism P₁ -A va P₂ -B rishtalari bilan poydevor yoki ramka bilan bog'langan.

Ushbu mexanizmning uchta harakatlanuvchi qismi (tayanch harakatlanmaydi): havola P₁ -A, havola P₂ -B va BAC tanasi. Ushbu uch qismning har biri uchun tezkor aylanish markazi aniqlanishi mumkin.

Birinchi havola P₁ -A ni hisobga olgan holda: ushbu havolaning barcha nuqtalari, shu jumladan A nuqtasi, P₁ nuqtasi atrofida aylanadi. P₁ berilgan tekislikda harakat qilmaydigan yagona nuqta bo'lgani uchun uni ushbu havolaning tezkor aylanish markazi deb atash mumkin. A nuqtasi, P₁ dan P₁ -A masofasida, V_A vektori bilan ko'rsatilgandek, P₁ -A havolasiga perpendikulyar yo'nalishda dumaloq harakatda harakat qiladi.

Xuddi shu narsa P₂ -B havolasi uchun ham amal qiladi: P₂ nuqtasi bu havola uchun lahzali aylanish markazidir va B nuqtasi V_B vektorida ko'rsatilgan yo'nalishda harakat qiladi.

Bog'lanishning uchinchi elementi - BAC jismining lahzali aylanish markazini aniqlash uchun ikkita A va B nuqtalari qo'llaniladi, chunki uning harakatlanish xususiyatlari P₁ -A va P₂ -B bog'lanishlari haqidagi ma'lumotlardan kelib chiqqan holda ma'lum.

A nuqtasi tezligining yo'nalishi V_A vektori bilan ko'rsatilgan. Uning lahzali aylanish markazi ushbu vektorga perpendikulyar bo'lishi kerak (chunki V _A aylana bo'ylab tangensial joylashgan). Talabni to'ldiradigan yagona chiziq P₁ -A havolasi bilan chiziqli chiziqdir. Bu chiziqning biron bir joyida BAC tanasi uchun lahzali aylanish markazi P nuqtasi mavjud.

A nuqtaga taalluqli bo'lgan narsa B nuqtasiga ham tegishli, shuning uchun bu lahzali aylanish markazi P vektorga perpendikulyar chiziqda joylashgan V_B, P₂ -B havolasi bilan kolinear chiziq. Shuning uchun, BAC tanasining P aylanish markazi P₁ -A va P₂ -B orqali o'tadigan chiziqlar kesishgan nuqtadir.

Ushbu lahzali aylanish markazi P tanadagi barcha nuqtalar uchun markaz bo'lganligi sababli, har qanday tasodifiy nuqta uchun, aytaylik, C nuqta uchun, harakat tezligi va yo'nalishi aniqlanishi mumkin: P ni C ga ulang. C nuqtasining harakat yo'nalishi perpendikulyar. bu aloqaga. Tezlik P nuqtagacha bo'lgan masofaga proportsionaldir.

Ushbu yondashuvni P₁ -A va P₂ -B bog'lamlari o'zlarining tezkor aylanish markazlari atrofida aylanadigan holda davom ettirib, tezkor aylanish markazi P uchun markazni aniqlash mumkin. Bundan C yoki BAC tanasining boshqa nuqtasi uchun harakat yo'lini aniqlash mumkin.

Qo'llash misollari

Biomexanik tadqiqotlarda yuqori va pastki ekstremitalardagi bo'g'inlarning ishlashi uchun tezkor aylanish markazi kuzatiladi. Misol uchun, tahlil qilishda tizza , to'piq, yoki elka bo'g'imlari . Bunday bilimlar tirsak yoki barmoq bo'g'imlari kabi sun'iy bo'g'inlar va protezlarni ishlab chiqishda yordam beradi .

Otlarning bo'g'inlarini o'rganish: "...aylanishning lahzali markazlaridan aniqlangan tezlik vektorlari bo'g'in yuzalarining bir-biriga siljishini ko'rsatdi"..

Suv bo'ylab harakatlanadigan kemani aylantirish bo'yicha tadqiqotlar.

Avtomobilning tormozlash xususiyatlari tormoz pedali mexanizmining dizaynini o'zgartirish orqali yaxshilanishi mumkin.

Velosiped, yoki avtomobil osmasini loyihalash.

Oldindan ko'rinishdagi ikki tomonlama osma osma kabi to'rt barli bog'lanishdagi bog'lovchi rishtasi bo'lsa, tezlikka perpendikulyarlar erga ulangan rishtani bog'lovchi bo'g'inga birlashtiruvchi zvenolar bo'ylab yotadi. Ushbu konstruktsiya suspenziyaning kinematik rulo markazini o'rnatish uchun ishlatiladi.