Arnold diffuziyasi

Amaliy matematikada Arnold diffuziyasi integrallanuvchi Gamilton tizimlarining beqarorligi hodisasidir. Bu hodisa 1964 yilda ushbu sohada birinchi bo'lib natijani e'lon qilgan Vladimir Arnold sharafiga nomlangan Aniqrog'i, Arnold diffuziyasi harakat o'zgaruvchilarida sezilarli o'zgarishlarni ko'rsatadigan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimlariga yechimlar mavjudligini tasdiqlovchi natijalarni anglatadi.

Arnold diffuziyasi Gamilton sistemalarida har qanday cheklovlar bilan bog'lanmagan ( ya'ni harakat doimiylaridan kelib chiqadigan Lagrangian tori bilan chegaralanmagan) faza fazosining bir qismida ergodik teorema tufayli traektoriyalarning tarqalishini tasvirlaydi. Bu erkinlik darajasi N =2 dan ortiq bo'lgan tizimlarda sodir bo'ladi, chunki N o'lchovli o'zgarmas tori 2 N -1 o'lchovli fazali fazoni endi ajratmaydi. Shunday qilib, o'zboshimchalik bilan kichik tebranish bir qator traektoriyalarni vayron qilingan tori tomonidan qoldirilgan faza bo'shlig'ining butun qismi bo'ylab psevdo-tasodifiy yurishiga olib kelishi mumkin.

Kelib chiqishi va bayonot

Integratsiyalanadigan tizimlar uchun harakat o'zgaruvchilari saqlanishi mavjud. KAM teoremasiga ko'ra, agar biz integral bo'ladigan tizimni biroz bezovta qilsak, unda ko'pchilik, garchi hamma bo'lmasa ham, bezovtalanuvchi tizimning yechimlari doimo buzilmagan tizimga yaqin bo'ladi. Xususan, harakat o'zgaruvchilari dastlab saqlanib qolganligi sababli, teorema bizga bezovtalanuvchi tizimning ko'plab yechimlari uchun harakatda faqat kichik o'zgarishlar mavjudligini aytadi.

Biroq, Arnoldning maqolasida birinchi bo'lib ta'kidlanganidek, deyarli integrallanadigan tizimlar mavjud bo'lib, ular uchun harakat o'zgaruvchilarida o'zboshimchalik bilan katta o'sishni ko'rsatadigan echimlar mavjud. Aniqrog'i, Arnold Gamiltonian bilan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimi misolini ko'rib chiqdi.

$H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}$

Ushbu Gamiltonianning dastlabki uchta sharti rotator-maatnik tizimini tavsiflaydi. Arnold ushbu tizim uchun har qanday tanlov uchun ekanligini ko'rsatdi $I_{+}>I_{-}>0$, va uchun $0<\mu \ll \epsilon \ll 1$, qaysi tizimga yechim bor

$I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}$

bir muddat $T\gg 0.$

Uning isboti "mo'ylovli" torining "o'tish zanjirlari" mavjudligiga, ya'ni o'tish dinamikasiga ega bo'lgan tori ketma-ketligiga tayanadi, shundayki, bu torilardan birining beqaror kollektori (mo'ylovi) keyingisining barqaror kollektori (mo'ylovi) bilan ko'ndalang kesishadi. bitta. Arnold “bizning misolimizdagi beqarorlik umumiy holatga (masalan, uchta jism muammosiga) ham tegishli ekanligini kafolatlaydigan “oʻtish zanjirlari” mexanizmi” deb taxmin qildi.

KAM teoremasi boʻyicha maʼlumotni da va fizikadan olingan maʼlumotlarga ega boʻlgan qatʼiy matematik natijalar toʻplamini da topish mumkin.

Umumiy holat

Arnold modelida bezovtalanish atamasi alohida turga ega. Arnoldning diffuziya muammosining umumiy holati shakllardan birining Gamilton tizimlariga tegishli.

(1) $H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)$

bu yerda $(I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}$, $m,n\geq 1$, va $H_{0}(I,p,q)$ rotator-maatnik tizimini tasvirlaydi, yoki

(2) $H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)$

bu yerda $(I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}$, $N\geq 2.$

(1) dagi kabi tizimlar uchun bezovtalanmagan Gamiltonian giperbolik barqaror va beqaror manifoldlarga ega bo'lgan invariant torilarning silliq oilalariga ega; bunday tizimlar a priori beqaror deb ataladi. (2) dagi kabi sistema uchun buzilmagan Gamiltonianning faza fazosi Lagranj invariant tori bilan qoplangan; bunday tizimlar a priori barqaror deb ataladi. Ikkala holatda ham Arnold diffuziya muammosi "umumiy" tizimlar uchun mavjudligini tasdiqlaydi. $\rho >0$ har bir kishi uchun shunday $\epsilon >0$ etarlicha kichik bo'lgan eritma egri chiziqlari mavjud

$\|I(T)-I(0)\|\geq \rho$

bir muddat $T\gg 0.$ Aprior beqaror va aprior barqaror tizim kontekstida mumkin bo'lgan generiklik shartlarining aniq formulalarini mos ravishda da topish mumkin. Norasmiy ravishda, Arnold diffuziya muammosi, kichik buzilishlar katta effektlarga to'planishi mumkinligini aytadi.

Apriori beqaror holatda so'nggi natijalarga, va a priori barqaror holatda kiradi.

Cheklangan uch jismli muammo kontekstida Arnold diffuziyasini shunday talqin qilish mumkinki, massiv jismlarning elliptik orbitalarining eksantrikligining barcha etarlicha kichik, nolga teng bo'lmagan qiymatlari uchun energiya bo'ylab echimlar mavjud. ahamiyatsiz massa ekssentriklikdan mustaqil bo'lgan miqdorga o'zgaradi.