Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yig'indisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun ko'pincha parchalanish turlaridan qo'llaniladi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi bo'lgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi , agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul bo'ladi.

Ayrılabilir modul ikki nol bo'lmagan submodullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi bo'lmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari bo'lgan modullarga parchalanishga ega bo'lsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent bo'ladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy bo'ladi, agar u bo'linish halqalari ustidagi matritsa halqalarining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi (aslida mahsulot ) bo'ladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi ).

Idempotentlar va parchalanishlar

Modulning to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri yig'indisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini to'playdigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$, keyin, har biri uchun $i\in I$, chiziqli endomorfizm $e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M$ tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir ( $e_{i}e_{j}=0$ uchun $i\neq j$ ) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi.Bular:

$1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}$

endomorfizmlar sifatida (bu erda yig'indi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yig'indi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir to'plami $\{e_{i}\}_{i\in I}$ Shunday qilib, faqat cheksiz ko'p $e_{i}(x)$ har biri uchun nolga teng $x\in M$ va $\sum e_{i}=1_{M}$ olish orqali to'g'ridan-to'g'ri yig'indining parchalanishini aniqlanadi $M_{i}$ tasvirlari bo'lish $e_{i}$ ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin bo'lgan parchalanishiga ba'zi cheklovlar qo'yadi: halqa berilgan $R$, dekompozitsiya bor deylik

${}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}$

$R$ ning o'zi ustidan chap modul sifatida, qaerda $I_{a}$ chap submodullar; ya'ni, chap ideallar . Har bir endomorfizm ${}_{R}R\to {}_{R}R$ R elementi bilan to'g'ri ko'paytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, $I_{a}=Re_{a}$ qayerda $e_{a}$ ning idempotentlari hisoblanadi $\operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R$ .Idempotent endomorfizmlarning yig'indisi R birligining parchalanishiga mos keladi: ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$, bu shartli ravishda cheklangan yig'indi; ayniqsa, $A$ chekli to'plam bo'lishi kerak.

Masalan, $R=\operatorname {M} _{n}(D)$, boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin ${}_{R}R$ n nusxasining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisidir $D^{n}$, ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal.

R halqa bo'lsin. Faraz qilaylik, uning o'zidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

${}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$

ikki tomonlama ideallarga aylanadi $R_{i}$ ning R . Yuqoridagi kabi, $R_{i}=Re_{i}$ ba'zi ortogonal idempotentlar uchun $e_{i}$ shu kabi $\textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}$ . beri $R_{i}$ idealdir, $e_{i}R\subset R_{i}$ va hokazo $e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0$ uchun $i\neq j$ . Keyin, har bir i uchun,

$e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.$

Ya'ni, $e_{i}$ markazda joylashgan ; ya'ni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari bo'lishi mumkin va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri yig'indining ideallarga bo'linishi va birlik 1 ga to'g'ri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar o'rtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri $R_{i}$ o'zi - o'z-o'zidan halqa tomonidan berilgan birlik $e_{i}$, va halqa sifatida R mahsulot halqasidir $R_{1}\times \cdots \times R_{n}.$

Masalan, yana oling $R=\operatorname {M} _{n}(D)$ . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

Parchalanish turlari

To'g'ridan-to'g'ri yig'indining bir necha turlari o'rganilgan:

• Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi.
• Ajralmaydigan parchalanish : parchalanmaydigan modullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi.
• Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi ): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar bo'lgan modullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi (har bir x element uchun x yoki 1 - x birlik bo'lsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
• Ketma-ket parchalanish : bir seriyali modullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir bo'lsa, modul bir qatorli hisoblanadi ) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan bo'lgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy bo'lsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega bo'lishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish bo'ladi.

To'g'ridan-to'g'ri yig'indi, agar u ajralmaydigan to'ldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish $\textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ Agar M ning har bir maksimal to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi L uchun kichik to'plam mavjud bo'lsa, maksimal to'g'ridan-to'g'ri yig'indilarni to'ldiruvchi deyiladi. $J\subset I$ shu kabi

$M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.$.

Ikki parchalanish $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}$ bijection mavjud bo'lsa, ekvivalent deyiladi $\varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J$ har biri uchun shunday $i\in I$, $M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}$ .Agar modul maksimal to'g'ridan-to'g'ri yig'indilarni to'ldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent bo'ladi.

Azumaya teoremasi

Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi.Sunday parchalanish berilgan $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi $M_{i}$ mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar $M=N\oplus K$, keyin

1. agar nol bo'lmasa, N ajralmaydigan to'g'ridan-to'g'ri yig'indini o'z ichiga oladi,
2. agar $N$ ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy va $K$ berilgan parchalanish bilan to'ldiriladi:

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ va hokazo $M_{j}\simeq N$ ba'zilar uchun $j\in I$ ,

3. Har biriga $i\in I$, to'g'ridan-to'g'ri yig'indilar mavjud $N'$ ning $N$ va $K'$ ning $K$ shu kabi $M=M_{i}\oplus N'\oplus K'$ .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi bo'yicha ) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qo'llaniladi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul bo'lsa, u holda uzunlik bo'yicha induksiya bo'yicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib bo'lmaydigan parchalanish berilgan ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ . Keyin u birinchisiga teng bo'lishi kerak: shunday $m=n$ va $M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}$ ba'zi almashtirish uchun $\sigma$ ning $\{1,\dots ,n\}$ . Aniqrog'i, beri $N_{1}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ ba'zilar uchun $i_{1}$ . Keyin, beri $N_{2}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ va hokazo; ya'ni har bir summani to'ldiradi ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ ba'zilarining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida qabul qilinishi mumkin $M_{i}$ ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

• Element berilgan $x\in N$, to'g'ridan-to'g'ri yig'indi mavjud $H$ ning $N$ va kichik to'plam $J\subset I$ shu kabi $x\in H$ va ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ .

Buni ko'rish uchun cheklangan to'plamni tanlang $F\subset I$ shu kabi ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ . Keyin, yozish $M=N\oplus L$, Azumaya teoremasi bo'yicha, $M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}$ ba'zi to'g'ridan-to'g'ri yig'indilar bilan $N_{1},L_{1}$ ning $N,L$ va keyin, modul qonuniga ko'ra, $N=H\oplus N_{1}$ bilan $H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N$ . Keyin, beri $L_{1}$ ning bevosita yig‘indisidir $L$, yozishimiz mumkin $L=L_{1}\oplus L_{1}'$ undan keyin $\oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'$, bu F chekli bo'lgani uchun, bu degani $H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}$ ba'zi J uchun Azumaya teoremasini takroran qo'llash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini o'rnatishda, agar qo'shimcha ravishda har bir $M_{i}$ hisoblash mumkin bo'lsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): $N$ ga izomorfdir $\bigoplus _{j\in J}M_{j}$ ba'zi bir kichik to'plam uchun $J\subset I$ (Ma'lum ma'noda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan. ), bu taxmin noma'lum " $M_{i}$ countably genered" ni o'chirib qo'yish mumkin; ya'ni, bu yaxshilangan versiya judayam to'g'ri.

Halqaningning parchalanishi

Halqaning parchalanishi bo'yicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

1. R - yarim oddiy halqa ; ya'ni, ${}_{R}R$ yarim oddiy chap moduldir.
2. $R\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})$ qayerda $\operatorname {M} _{n}(D)$ n -by- n matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi $r,m_{1},\dots ,m_{r}$ R bilan belgilanadi (lekin $D_{i}$ s R bilan aniqlanmaydi).
3. R ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini ko'rish uchun e'tibor bering: agar ${\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ qayerda $I_{i}$ o'zaro izomorf bo'lmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar o'ngdan harakat qiladi.

$R\simeq \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$

har biri qaerda $\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$ bo'linish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida ko'rish mumkin $D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})$ . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng bo'ladi.) Ekvivalentlik 1. $\Leftrightarrow$ 3. chunki har bir modul bo'sh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

Shuningdek qarang

• Sof in'ektsion modul

Manbalar

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13-jild (2-nashr), New York: Springer-Verlag, x+376-bet, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings, University of Oregon, Fall, 2002.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2-jild (2nd-nashr), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
• Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
• R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.