Umumlashgan funksiyalar

Umumlashgan funksiyalar - klassik maʼnodagi funksiyanya umumlashtiruvchi matematik tushuncha. Umumlashgan funksiyalarni taʼriflash uchun asosiy funksiyalar sinfi D, yaʼni, odatda, cheksiz differensiallanuvchi va biror chegaralangan sohadan tashqarida nolga aylanuvchi cheksiz funksiyalar olinadi. Chegaralangan xar bir f(x) funksiya Umumlashgan funksiyalar boʻladi, chunki uT((f)= J f(x)<p(x)dx koʻrinishidagichiziqli uzluksiz funksionalni aniqlaydi. Bu koʻrinishdagi Umumlashgan funksiyalar regulyar, qolgan barcha Umumlashgan funksiyalar singulyar deyiladi.

Masalan, 8(u) = u(0) u(0) = J 5(x)y(x)dxtenglik bilan aniqdangan deltafunksiya (Dirak funksiyasi) singulyar Umumlashgan funksiyalar dir. Umumlashgan funksiyalarning odatdagi funksiyalarda boʻlmagan xossalari bor. Mas, har qanday Umumlashgan funksiyalar umumlashgan maʼnodagi hosilaga ega; Umumlashgan funksiyalarlarni boshqa fazolarda ham funksional deb qarash mumkin; yaqinlashuvchi Umumlashgan funksiyalar qatorini hadlab differensiallash mumkin.

Umumlashgan funksiyalar tushunchasini mat.ga birinchi boʻlib rus matematigi S.L.Sobolev 1935-yilda kiritgan. Keyinchalik L. Shvars va boshqa matematiklar oʻrgangan. Umumlashgan funksiyalar tushunchasi differensial tenglamalarida, matematik fizika tenglamalarida keng qoʻllaniladi.