Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti

Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir.

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllaniladi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

Tarixi

Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllanilgan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan.

Birinchi taʼrif

Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},...$ toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni $\{x_{n}\}$ yoki $x_{n}$ kabi belgilanadi.

$x_{n}(n=1,2,3,...)$ sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) $x_{n}={\frac {1}{n}}:1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},...,{\frac {1}{n}}$, 2) $x_{n}=(-1)^{n}:-1,1,-1,...(-1)^{n}$, 3) $x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}:1,{\sqrt {2}},{\sqrt[{3}]{3}},...,{\sqrt[{n}]{n}},...$ 4) $x_{n}=1:1,1,1,...,1,...$ 5) $0,3;0.33;0,333;...;\underbrace {0,333...3;\cdots } _{n}$ lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror $\{x_{n}\}$ ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

Ikkinchi taʼrif

Agar shunday oʻzgarmas $m$ soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy $x_{n}(n=1,2,3,...)$ uchun $x_{n}\leq M$ tengsizlik bajarilsa (yaʼni $\exists m,\forall n\in N:x_{n}\geq M$ boʻlsa),$\{x_{n}\}$ ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

Uchinchi taʼrif

Agar shunday oʻzgarmas $m$ soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy $x_{n}(n=1,2,3,...)$ uchun $x_{n}\geq m$ tengsizlik bajarilsa (yaʼni $\exists m,\forall n\in N:x_{n}\geq m$ boʻlsa),$\{x_{n}\}$ ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

Toʻrtinchi taʼrif

Agar $\{x_{n}\}$ ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa (yaʼni $\exists m,\forall n\in N:m\leq x_{n}\leq M$ boʻlsa),$\{x_{n}\}$ ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu $x_{n}={\frac {n}{4+n^{2}}}$ $(n=1,2,3,...)$ ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, $\forall n\in N$ uchun $x_{n}={\frac {n}{4+n^{2}}}>0$ boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, $0\leq (n-2)^{2}=n^{2}-4n+4$ boʻlib, undan $4n\leq 4+n^{2}$ yaʼni ${\frac {n}{4+n^{2}}}\leq {\frac {1}{4}}$ boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan.

Beshinchi taʼrif

Agar $\{x_{n}\}$ ketma-ketlik uchun $\forall M\in R,\exists n_{0}\in N:x_{0}>M$ boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.

Sonlar ketma-ketligining limiti

Aytaylik, $a\in R$ son hamda ixtiyoriy musbat $\varepsilon$ son berilgan boʻlsin.

Oltinchi taʼrif

Ushbu $U_{\varepsilon }(a)=\{x\in R\mid a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \}=(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ toʻplam $a$ nuqtaning $\varepsilon$ - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik $\{x_{n}\}$ ketma-ketlik va $a\in R$ soni berilgan boʻlsin.

Yettinchi taʼrif

Agar ixtiyoriy $\varepsilon >0$ son olingandan ham shunday $n_{0}$ natural soni mavjud boʻlsaki, $n>n_{0}$ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun $\mid x_{n}-a\mid <\varepsilon$ tengsizlik bajarilsa, (yaʼni $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in N,\forall n>n_{0}:\mid x_{n}-a\mid <\varepsilon$ boʻlsa), $a$ son $\{x_{n}\}$ ketma-ketlikning limiti deyiladi va $a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ yoki $n\rightarrow \infty$ da $x_{n}\rightarrow a$ kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun $\mid x_{n}-a\mid <\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon <x_{n}<a+\varepsilon$ yaʼni, $x_{n}\in U_{\varepsilon }(a)$, $(n>n_{0})$ boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

Sakkizinchi taʼrif

Agar $a$ nuqtaning ixtiyoriy $U_{\varepsilon }(a)$ ham $\{x_{n}\}$ ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, $a$ soni $\{x_{n}\}$ ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki $\varepsilon$ ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural $n_{0}$ soni esa $\varepsilon$ ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.