Runge–Kutta usuli: Versiyalar orasidagi farq

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Kontent oʻchirildi Kontent qoʻshildi
k Malikxan Runge-Kutta metodi sahifasini Runge–Kutta usuliga koʻchirdi
Tahrir izohi yoʻq
Qator 1: Qator 1:
{{manba}}
'''Runge-Kutta metodi''' — [[oddiy differensial tenglamalar]] va tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]]ni yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari K.Runge va M.V.Kutta tomonidan taklif qilingan.
'''Runge–Kutta usuli''' — [[oddiy differensial tenglamalar]] va tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]]ni yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari [[Carl Runge]] va [[Wilhelm Kutta]] tomonidan taklif qilingan.


Runge-Kutta metodlari toʻplamiga Eylerning oshkor metodi va Eylerning modifikatsiyalangan metodlari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar ([[Maple]], [[MathCAD]], [[Maxima]]) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge-Kutta metodi qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.
Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar ([[Maple]], [[MathCAD]], [[Maxima]]) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.


Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.
Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.


== Toʻrtinchi tartibli klassik Runge-Kutta metodi ==
== Toʻrtinchi tartibli klassik Runge–Kutta usuli ==
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge-Kutta metodi juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge-Kutta metodi deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge–Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.


Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]] ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda <math>\mathbf{y},\ \mathbf{f},\ \mathbf{k}_{i}\in\mathbb{R}^{n}</math>).
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]] ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda <math>\mathbf{y},\ \mathbf{f},\ \mathbf{k}_{i}\in\mathbb{R}^{n}</math>).
Qator 25: Qator 26:




== Runge-Kuttaning oshkor metodlari ==
== Runge–Kuttaning oshkor usullari ==
Runge-Kuttaning oshkor metodlari sinfi, Eylerning oshkor metodlari hamda toʻrtinchi tartibli Runge-Kutta metodlarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi:
Runge–Kuttaning oshkor usullari sinfi, Eulerning oshkor usullari hamda toʻrtinchi tartibli Runge–Kutta usullarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi:
: <math> \textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i, </math>
: <math> \textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i, </math>
bu yerda <math>h</math> — toʻr qadamining <math>x</math> boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi <math>s</math> bosqichlarda amalga oshiriladi:
bu yerda <math>h</math> — toʻr qadamining <math>x</math> boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi <math>s</math> bosqichlarda amalga oshiriladi:
Qator 48: Qator 49:
\end{array} </math>
\end{array} </math>


Runge-Kutta metodi koeffitsiyentlari uchun <math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i</math> dlya <math> i=2, \ldots, s</math> shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi <math>p</math> -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim:
Runge–Kutta usuli koeffitsiyentlari uchun <math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i</math> dlya <math> i=2, \ldots, s</math> shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi <math>p</math> -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim:
: <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)- {\textbf{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1}),</math>
: <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)- {\textbf{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1}),</math>


bu yerda <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)</math> Runge-Kutta metodi orqali olingan yaqinlashish.
bu yerda <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)</math> Runge–Kutta usuli orqali olingan yaqinlashish.


Ko'p martalab differensiallashdan so'ng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.
Koʻp martalab differensiallashdan soʻng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.

21-Iyul 2021, 15:50 dagi koʻrinishi

Runge–Kutta usuli — oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan.

Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.

Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.

Toʻrtinchi tartibli klassik Runge–Kutta usuli

Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge–Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda ).

U holda ushbu tenglamaning yaqinlashgan (taxminiy) yechimi quyidagi iteratsion formula yordamida hisoblanadi:

Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi toʻrt bosqichda amalga oshiriladi:

bu yerda  — toʻr qadamining boʻyicha kattaligi.

Ushbu usul toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega. Demak, bitta hisoblash qadamidagi xatolik tartibida boʻladi. Oxirgi intervaldagi yigʻindi xatolik esa tartibida.


Runge–Kuttaning oshkor usullari

Runge–Kuttaning oshkor usullari sinfi, Eulerning oshkor usullari hamda toʻrtinchi tartibli Runge–Kutta usullarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi:

bu yerda  — toʻr qadamining boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi bosqichlarda amalga oshiriladi:

Aniq metod, soni va hamda koeffitsiyentlar orqali aniqlanadi. Ushbu koeffitsiyentlar Butcher jadvali deb ataluvchi jadvalni hosil qiladi:

Runge–Kutta usuli koeffitsiyentlari uchun dlya shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim:

bu yerda  — Runge–Kutta usuli orqali olingan yaqinlashish.

Koʻp martalab differensiallashdan soʻng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.