Kvadrat algebra

Matematikada kvadratik algebra birinchi darajali elementlar tomonidan yaratilgan filtrlangan algebra boʻlib, ikkinchi darajali munosabatlarni belgilaydi. Bunday algebralar kvant guruhlari nazariyasida muhim rol oʻynashini <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Yuri_Manin" rel="mw:ExtLink" title="Yuri Manin" class="cx-link" data-linkid="8">Yuri Manin</a> taʼkidlagan. Darajali kvadratik algebralarning eng muhim sinfi Koszul algebralaridir .

Taʼrif

A darajali kvadratik algebra A generatorlar V = A ₁ vektor fazosi va bir hil kvadratik munosabatlarning pastki fazosi S ⊂ V ⊗ V bilan aniqlanadi.

$A=T(V)/\langle S\rangle$

va uning darajalanishini T (V) tenzor algebrasidan meros qilib oladi.

Agar munosabatlarning pastki fazosi oʻrniga bir xil boʻlmagan 2-darajali elementlarni ham oʻz ichiga olishiga ruxsat berilsa, yaʼni S ⊂ k ⊕ V ⊕ (V ⊗ V), bu konstruktsiya natijasida filtrlangan kvadratik algebrasi oʻz ichiga olinadi.

Yuqoridagi kabi darajali kvadratik algebra A kvadratik dualni qabul qiladi: V ^* tomonidan yaratilgan kvadratik algebra va V^*⊗V^* da S ning ortogonal toʻldiruvchisini tashkil etuvchi kvadratik munosabatlar.

Misollar

• Tensor algebrasi, simmetrik algebra va chekli oʻlchovli vektor fazosining tashqi algebrasi kvadratik (aslida, Koszul) algebralari darajali misollari.
• Chekli oʻlchovli Li algebrasining universal oʻrab oluvchi algebrasi filtrlangan kvadratik algebradir.

Manbalar

• Polishchuk, Alexander; Positselski, Leonid (2005), Quadratic algebras, University Lecture Series, 37-jild, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3834-1, MR 2177131
• Mazorchuk, Volodymyr; Ovsienko, Serge; Stroppel, Catharina (2009), „Quadratic duals, Koszul dual functors, and applications“, Trans. Amer. Math. Soc., 361 (3): 1129–1172, arXiv:math.RT/0603475, doi:10.1090/S0002-9947-08-04539-X