Elektromagnit toʻlqinlar quyidagi differensial tenglamalarga boʻysunadi:
Koʻrinib turibdiki, xususiy hosilalardan iborat chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan amal qilishga toʻgʻri keladi.
Cheksiz kichik hajmdagi zaryad boʻladi. Koordinatalar boshini shu zaryadda joylashgan deb hisoblaymiz. U vaqtda, hajmdan tashqaridagi nuqtalarda zaryad yoʻq, demak (2 — 3) ga muvofiq
zaryadning hajmdan tashqaridagi nuqtalarda hosil qilgan maydoni koordinatalar boshigacha boʻlgan masofa va vaqtgagina bogʻliq, yaʼni maydon sferik simmetriyaga ega. Endi Laplas operatorini sferik koordinatalarda yozib koʻrsak, (6) ga muvofiq
Quyidagi koʻrinishda yangi funksiya kiritamiz:
Koʻrinib turibdiki,
Demak, (7) ga muvofiq
boʻladi. Bu yassi elektromagnit to'lqin tenglamasidir. Shunday qilib,
To'lqin tenglamaning xususiy yechimigina bizni qiziqtiradi. Shu sababli bilan cheklanamiz:
U holda, (8) ga muvofiq
boʻladi. Koʻrinib turibdiki, vaqt oʻtishi bilan () toʻlqin radiusning orta borish tomoniga qarab tarqaladi. Nomaʼlum funksiyani aniqlash lozim.
Zaryadga cheksiz yaqin turgan nuqtalar uchun cheksiz kichik. Demak, . Maʼlumki, zaryadning Kulon potensiali:
Demak, , bu yerdan , u vaqtda (12) ga muvofiq
Koʻramizki, (13) ga asosan, kuzatish nuqtasida vaqtning momentidagi potensial vaqtning oldingi momentidagi zaryad zichligi bilan aniqlanadi. Zaryad turgan joyda vaqtning momentida paydo boʻlgan potensial masofani vaqtda oʻtib, kuzatish nuqtasiga vaqt kechikish bilan yetib keladi. Shuning uchun (13) bilan ifodalangan potensial kechikuvchi potensial deb yuritiladi.
Zaryadlar sistemasining potensialini aniqlash uchun (13) formulani sistemaning barcha zaryadlari joylashgan hajm boʻyicha integrallash lozim:
Xuddi shuningdek,
Ushbu tenglamalarda zaryad turgan nuqtani koordinatalar boshi sifatida olingan. Agar koordinatalar boshini sistemaning ichidagi boshqa biror nuqtaga koʻchirilsa, yangi koordinatalar boshiga nisbatan zaryad turgan nuqtaning radius-vektori va kuzatish nuqtasining radius-vektori bilan belgilanadi. Demak,
boʻladi. Yangi koordinatalar boshiga nisbatan kechikuvchi potensiallar quyidagicha yoziladi:
- R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Toshkent, 1974