Feynman–Kac formulasi

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Jump to navigation Jump to search

Feynman-Kac formulasi — Richard Feynman va Mark Kac nomi bilan ataladigan formula boʻlib, xususiy hosilali parabolik differensial tenglamalar hamda tasodifiy jarayonlarni oʻzaro bogʻlashga xizmat qiladi.

Xususan, ushbu formula xususiy hosilali differensial tenglamalarni tasodifiy hodisalar trayektoriyasi (Monte-Karlo metodi deb ham ataladi) yordamida yechish imkonini beradi. Shuningdek, tasodifiy jarayonning matematik kutilmasi, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi sifatida hisoblanishi mumkin.

Bir oʻlchamli holat[tahrir | manbasini tahrirlash]

Quyidagi differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:

bu yerda nomaʼlum funksiya, va esa — mustaqil oʻzgaruvchilar,  — maʼlum funksiyalar. Feynman-Kac formulasiga binoan, (*) tenglamaning boshlangʻich shartlarga nisbatan yechimi

shartli matematik kutilma koʻrinishida ifodalanishi mumkin:

bu yerda  — tasodifiy oʻlcham, esa Ito protsessi deb ataladi. Ushbu protsess quyidagi tasodifiy tenglama bilan ifodalanadi:

bu yerda jarayon uchun boshlangʻich shart quyidagi koʻrinishda boʻladi:

.

Koʻp oʻlchamli holat[tahrir | manbasini tahrirlash]

Feynman-Kac formulasining koʻp oʻlchamli analogi ham mavjud boʻlib, oʻzgaruvchi quyidagi shartga boʻysunsagina uni qoʻllash mumkin: .

Bu holda (*) differensial tenglama quyidagi koʻrinishga keladi:

va n-oʻchamli tasodifiy jarayon quyidagi tenglama orqali ifodalanadi:

bu yerda elementlardan tuzilgan vektor-ustun,  — n-oʻlchamli tasodifiy protsess,  — n-tartibli kvadat matritsa boʻlib, matritsa bilan quyidagi formula orqali bogʻlangan:

yulduzcha (*) belgisi transponirlashni bildiradi.