Bernulli differensial tenglamasi

Quyida oddiy shakldagi differensial tenglama koʻrsatilgan:

$y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1$

Bernulli tenglamasi deyiladi (masalan $n=0$ yoki $n=1$ bir jinsli yoki bir jinsli chiziqli tenglamani olamiz).

Da $n=2$ Riccati tenglamasining maxsus holatidir. Ushbu bir jinsli tenglamani 1695-yilda nashr etgan Jeykob Bernulli sharafiga nomlangan.

Bu tenglamani chiziqli tenglamaga tushuvchi almashtirish yordamida yechish usulini uning akasi Iogan Bernulli 1697-yilda yechimini topgan.

Yechish usuli

Birinchi usul

Tenglamaning barcha shartlari quyidagigaga boʻlinadi:

$y^{n},$

olamiz

${\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).$

Oʻzgartirish amalga oshiriladi:

$z=y^{1-n}$

va farqlash orqali quyidagilar olinadi:

${\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.$

Bu tenglama chiziqli tenglamaga keltiriladi:

${\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)$

va Lagranj usuli (doimiy oʻzgarish) yoki integrallashtiruvchi omil usullari bilan yechilishi ham mumkin.

Ikkinchi usul

Almashtirish usuli orqali almashtiriladi:

$y=uv,$

keyin:

${\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.$

$v(x)\not \equiv 0$ shunday deb olinadi:

${\dot {v}}+a(x)v=0,$

buning uchun 1-tartibdagi ajratiladigan oʻzgaruvchilar bilan tenglamani yechish kifoya boʻladi. Shundan soʻng, aniqlash uchun $u$ tenglamani olamiz ${\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}$ ajraladigan oʻzgaruvchilarga ega tenglamadir.

Misol uchun

Tenglama

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

$y^{2},$boʻlib olamiz:

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.$

Oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi olamiz

$w={\frac {1}{y}}$

bizga berilgan:

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}},$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.$

$M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.$

$M(x)$ga bo'ling ,

$w'x^{2}+2xw=x^{4},$

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.$

Natija:

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

Qoʻshimcha maʼlumot:

Bernuli tenglamasi faqat matematika yoki algebrada emas fizikada ham muhim oʻrin tutadi. Bernuli tenglamasi yordamida fizikada bu tenglama sizga ixtiyoriy oʻlchamdagi nayda harakatlanayotgan suyuqlik harakatini tahlil qilish imkonini beradi.

Fizikadagi bernuli qonuni shunday:

Gorizontal oqayotgan suyuqlikning tezroq oqayotgan nuqtalarida bosim sekinroq oqayotgan nuqtalarga nisbatan kichik boʻladi.

Adabiyotlar

• LEKIN. F. Filippov . Differensial tenglamalar boʻyicha masalalar toʻplami, — Har qanday nashr.
• DA. DA. Stepanov . Differensial tenglamalar kursi, — Har qanday nashr.
• Zelikin M. I. Bir jinsli boʻshliqlar va oʻzgarishlarni hisoblashda Riccati tenglamasi, — Faktorial, Moskva, 1998 yil.