Algebra

Algebra (arab. الجبر "Al-Jabr") — matematikaning bir sohasi. Algebraning asosiy masalasi — toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (masalan, oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikadan tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik obyektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunday hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilaninib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi. Algebraning juda ko‘p turlari bor.

Etimologiya

Algebra (arabcha: al-Jabr) — matematikaning bir sohasi. Buyuk oʻzbek olimi Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy „Al-jabr val-muqobala“ asarida dunyoda birinchi marta Algebrani izchil bayon qildi. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, algebra nomi bilan jahonga tarqalgan. Al-jabr tiklashni, yaʼni manfiy hadlarni tenglamaning ikkinchi tomoniga oʻtkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildiradi. Algebraning asosiy masalasi — toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (masalan, oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikada tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik obyektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilanib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va 302 qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi. Umar Xayyom algebrani tenglamalar yechish haqidagi fan deb taʼriflagan edi. Uning bu taʼrifi XVIII asr oxirigacha kuchini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda Algebra yangi yoʻnalishlar bilan kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida oʻz ahamiyatini saqlab ham qoldi. Qadimgi misrliklar ancha murakkab masalalarni yechganlar (arifmetik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning taʼrifi, ularning yechilishi ogʻzaki soʻz bilan faqat sonli misollar uchun berilar edi. Bu misollar shakl jihatidan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarni yechishda umumiy usullarning toʻplanayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi. Bu yerda geometrik tekshirishlar mantiq tomonidan shunday yoʻlga qoʻyilgan ediki, unda har bir aytilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuchli taʼsiri natijasida arifmetika va Algebra masalalari geometriya tili bilan bayon etilardi. Masalan, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor koʻpaytmasini toʻgʻri toʻrtburchakning yuzi deb qaralardi. Hozirgi zamon matematikasida miqdorning oʻz-oʻziga koʻpaytmasini „kvadrat“ deb atash geometrik tilning hozirgacha saqlanib kelishidan namunadir. Yunonlar erishgan natijalarni toʻldirish, umumlashtirish va taraqqiy ettirishda Turkiston matematiklari katta hissa qoʻshdilar. Ildizlarni hisoblash, bir qator tenglamalarni taqribiy yechish usullari, Nyuton binomi umumiy formulasining soʻz bilan taʼriflangan ifodasini berish Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. IX-X asrlarda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yashagan va fan sohasida oʻzlarining yirik ilmiy ishlari bilan dunyoga nom taratgan edilar. 1074-yilda Umar Xayyomning „al-Jabr“ degan boshqa bir kitobida chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechish, uchinchi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul bilan izlash va boshqa juda koʻp masalalarni yechish yoʻllari koʻrsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham oʻsha zamon uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan arifmetika va Algebra masalalarining yechimlari berilgan. Uning matematikaga, xususan, Algebra va arifmetikaga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga koʻtarish amallari tekshirilgan. Qadimgi dunyo tarixidan to al-Xorazmiy davriga qadar matematika Algebra va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boshlab Algebra matematikaning alohida boʻlimi boʻlib ajraldi. XV asrda Samarqandda mashhur Ulugʻbek rasadxonasining tashkil topishi astronomiyaning taraqqiy etishi bilan bir qatorda matematikaning rivojlanishiga ham sabab boʻldi. Algebraning taraqqiyoti uchun amallarni soʻz bilan ifoda etishdan koʻra ular oʻrniga qulay belgilar topib ishlatish zarur edi. Bu ish juda sekinlik bilan bordi: qadimgi misrliklar kasr uchun alohida belgi ishlatishgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uchun (yununcha, isos — teng) ishlatgan. Italyan olimlari plyus va minus soʻzlari oʻrnida ustiga alohida chiziq chizilgan va t harflarini ishlatishgan. XV asr oxiriga kelgandagina hozirgi = va — ishoralari kiritilgan. Bundan keyingi davrda masalada qatnashadigan miqdorlar, shuningdek nomaʼlumlar harflar bilan belgilanadigan boʻldi. XVI asr oʻrtalarida hozirgi zamon algebrasidagi timsollar toʻla takomillashtirildi. Algebrada bunday toʻla timsollarga oʻtishga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tushuntirish, biror umumiy fikrni taʼriflash mumkin emas edi. XVI asrda nomaʼlum miqdorlar uchun unli A, Y harflari, maʼlum miqdorlar uchun esa unsiz V, S, D harflari ishlatilib, oʻsha vaqtda kiritilgan matematik amallar bilan bogʻlandi. Shunday qilib, hozirgi zamon Algebrasi uchun xos boʻlgan harfiy formulalar birinchi martaba paydo boʻldi. Har qanday tayin son oʻrniga timsoliy belgilarning kiritilishi, har 303 lardan arifmetika amallarini yechishda foydalanilishi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu bilan formulalar tili boʻlgan matematik vosita hosil qilindi. Shu vositasiz XVII asrda oliy matematikaning yorqin taraqqiyoti, cheksiz kichik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini berish masalalarini xayolga keltirish ham mumkin emas edi. XVII asrda Dekartning analitik geometriya tuzishda tutgan yoʻli Algebrada paydo boʻlayotgan manfiy son tushunchasini geometrik tasvirlash bilan birga, manfiy sonlarning fandagi oʻrnini mustahkamladi. Nomaʼlum sonlar uchun x, y, z harflarini ishlatish Dekartdan boshlangan boʻlib, hozir ham shunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelishi Algebraning katta yutugʻi boʻldi. Agar yunonlar Algebra masalalarini geometriya tilida tahlil qilgan boʻlsalar, endi, aksincha, geometriya masalalari Algebra formulalariga koʻchiriladigan boʻlib koldi. XVII asr oxiri XVIII asr boshlarida ishlab chiqaruvchi kuchlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlarning matematika oldiga qoʻygan talablari munosabati bilan differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boshladi. Bunga Algebraning bosib oʻtgan tarixiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab bergan edi. Bu davrda Algebra bilan matematik tahlil bir-biri bilan jips munosabatda taraqqiy qilardi. Algebraga funksional bogʻlanish masalalari kira boshladi. Tahlil esa Algebraning boy formulalari toʻplamidan foydalana bordi. XVIII—XIX asrlarda Algebra taxlildan farq qilib, diskret va chekli miqdorlar bilan ish koʻrardi: bu davrda Algebra asosan koʻphadlar bilan shugʻullanardi. Ikkinchi darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan Algebrada irratsional va kompleks sonlarning fanga kiritilishi uchun ehtiyoj tugʻiladi. Bu sonlarning kiritilishi bilan XVIII asrda Algebra hozirgi zamon oʻrta maktabida oʻtilayotgan Algebra hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgilardan foydalanib turli sonlar tizimlarining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi bilan yechishning umumiy metodlarini oʻrganadigan Algebra klassik algebra deb yuritiladi. Klassik Algebrada kv. tenglamani yechish qadimgi dunyodan maʼlum, ammo uchinchi va toʻrtinchi darajali tenglamalarni yechish formulalarini esa faqat XVI asrda italyan matematiklari Kardano, Tartalya va Ferrari yaratib berdi. Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koeffitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikallarda ifoda etadi. Darajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham shu yoʻsinda ifodalash masalasi koʻp vaqn olimlar diqqatini oʻziga jalb qilib keldi. Oradan 300 yil oʻtgach, XIX asrda Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori algebraik tenglamalar ildizlarini koeffisiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal koʻrinishida ifoda etish mumkin emasligini isbot kildilar (qarang Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini beradi va tenglamani tekshirishni bu guruhni tekshirishga keltiradi. Algebraik tenglamalar ildizlarining soni va ularning qaysi sohaga tegishli boʻlishi masalalari ham koʻp vaqtdan beri olimlarning diqqat markazida turgan masalalardandir. D’Alamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kompleks ildizga ega ekanligini isbotladilar (qarang Oliy algebraning asosiy teore-masi). XIX asr boshlarida mavhum sonlarning tabiatini oʻrganish tufayli matematik amal tushunchasi kengaya boshladi. Ingliz matematiklari birinchi boʻlib matematik amalning mavhum tushunchasiga keldilar va bu tushunchani yangi matematik obektlarga tatbiq qilish bilan Algebra sohasini kengaytirdilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkompleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ boʻlmagan algebralar va algebraik geometriya tashkil topdi va rivojlandi, yangi algebraik obyektlar, chunonchi halqa, maydonlar paydo buddi. Bular XIX asr birinchi yarmidagi Algebrani jonlantirdi. Oʻsha vaqtgacha Algebra metodlari va natijalari Algebraning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yechishdan iborat edi. 1850-yildan keyin esa ahvol oʻzgardi, yangi izlanishlar borgan sari hozirgi kunda algebraning asosiy muammosi hisoblangan matematika amallarni oʻrganishdan iborat boʻla bordi. XIX asr ikkinchi yarmida algebraik sonlar, invariantlar va guruhlar nazariyasi vujudga keldi. XX asrda algebra matematikaning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biologiya, genetika kabi boshqa fanlarga ham jadal kirib keldi, yaʼni matematika va boshqa koʻpgina sohalarni algebralashtirish jarayoni roʻyobga keldi. Ayni paytda Algebra va matematikaning turli sohalari chegarasida matematikaning yangi yoʻnalishlari, chunonchi Algebra va funksional analiz oʻrtasida Banax Algebralari:, operatorlar Alari nazariyasi, Algebra bilan topologiya oʻrtasida gomologak Algebra va hokazo paydo boʻldi. Algebra fanining rivojlanishiga bir qancha oʻzbek olimlari, chunonchi: T. Sarimsoqov, Sh. Ayupov, J. Hojiyev va boshqalar oʻz hissalarini qoʻshdilar. Algebra ehtimollar nazariyasi, topologiyaga oid topologik yarim maydonlar va umuman tartiblangan Algebralar nazariyasini birinchi marta Oʻzbekistonda T. Sarimsoqov oʻz shogirdlari bilan yaratdi. Shavkat Ayupov .

Buyuk olim Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy „Al-jabr val-muqobala“ asarida dunyoda birinchi marta Algebrani izchil bayon qilgan. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, „Algebra“ nomi bilan jahonga tarqatilgan.

Havolalar

• Algebraga oid maʼlumotlar (ruscha) (Wayback Machine saytida 2013-05-16 sanasida arxivlangan)