Uchburchak

Uchburchaklar

Uchburchak  — bir toʻgʻri chiziqda yotmagan uchta nuqta va uchlari shu nuqtalarda boʻlgan uchta kesmadan yasalgan figura. Berilgan nuqtalar uchburchakning uchlari, uchlarini tutashtiruvchi kesmalar uchburchakning tomonlari, tomonlari orasidagi uchta burchak uchburchakning burchaklari deyiladi. Uchala tomoni oʻzaro teng boʻlgan uchburchak teng tomonli (muntazam uchburchak), ikki tomoni teng boʻlsa, teng yonli uchburchak deyiladi. Uchala burchagi oʻtkir boʻlgan uchburchak oʻtkir burchakli, burchaklaridan biri toʻgʻri boʻlsa, toʻgʻri burchakli, burchaklaridan biri oʻtmas boʻlsa, oʻtmas burchakli deyiladi. Uchburchakda faqat bitta toʻgʻri yoki oʻtmas burchak boʻladi (chunki uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi ikki toʻgʻri burchak, yaʼni 180° yoki radian oʻlchoviga teng). Uchburchakning yuzi S =ah/2 ga teng (bunda, a — uchburchak tomonlaridan biri, h — esa oʻsha tomonga tushirilgan balandlik). Uchburchak har tomonining uzunligi qolgan ikki tomon uzunliklari yigʻindisidan kichik, ayirmasidan esa kattadir. Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, ikki uchburchak teng boʻladi: 1)TTT alomati. uchburchakning 3 tomoni boshqa uchburchakning 3 tomoni bilan teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng uchburchaklar ; 2) TTB alomati. uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boshqa uchburchakning 2 tomoni va ular orasidagi burchakka teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng; 3) TBB alomati.uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan 2 burchagi boshqa uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan 2 burchagi oʻzaro teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng. Uchburchaklarning koʻpgina boshqa xossalarini trigonometriya, sferik geometriya, sferik trigonometriya va boshqa sohalarda oʻrganiladi.

uchburchak

Uchburchak geometrik figuralardan biri boʻlib, bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va shu nuqtalarni ketma-ket tutashtirishdan hosil boʻlgan figura. Nuqtalar uchburchakning uchlari, kesmalar esa uning tomonlari hisoblanadi. Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish bilan belgilanadi. „Uchburchak“ soʻzi oʻrniga baʼzan Fayl:Trianglen.jpg belgidan foydalaniladi.

Uchburchak turlari

Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:

• Teng tomonli uchburchak — uchala tomon uzunliklari teng boʻlgan uchurchak. Uning hamma ichki burchaklari teng yani, 60°.
• Teng yonli uchburchak — tomonlaridan ikkitasi teng boʻlgan uchbuurchak. Teng tomonlari qarshisidagi burchaklari ham oʻzaro teng.
• Turli tomonli uchburchak — uchala tomoni uzunliklari turlicha boʻlgan uchburchak. Ularning burchaklari ham turlicha.

Teng tomonli	Teng yonli	Turli tomonli

Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:

• To'g'ri burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90° boʻlgan uchburchak. Toʻgʻri burchakli uchburchakning toʻgʻri burchagi qarshisida yotuvchi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni katetlari deb ataladi.
• O'tmas burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan katta (o'tmas burchak) boʻlgan uchburchak.
• O'tkir burchakli uchburchak — burchaklaridan biri 90°dan kichkina (o'tkir burchak) boʻlgan uchburchak.

Asosiy xossalari

Tashqi d burchagi koʻrsatilgan uchburchak

Uchburchak ichki burchaklari 180° ga teng(bir xil rangdagilari oʻzaro teng)

• uchburchak ichki burchaklari yigʻindini 180° ga teng;
• uchburchakning tashqi burchagi oʻziga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng;
• hamma koʻpburchaklar singari, uchburchak tashqi burchaklari yigʻindisi 360°ga teng;
• uchburchakning ixtiyoriy ikkita tomoni yigʻindisi doim uchunchi tomondan katta boʻladi:a+b>c, a+c>b, b+c>a

Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi toʻgʻri burchakli uchburchakka oid boʻli, toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yigʻindisiga teng. Katetlarining uzunligi a va b, gipotenuzasi uzunligi c boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak berilgan boʻlsin, u holda Pifagor teoremasi:$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$ formula bilan ifodalanadi. Toʻgʻri burchakli uchburchakning asosiy xossalari:

• toʻgʻri burchakli uchburchakning oʻtkir burchaklari yigʻindisi 90° ga teng boʻlib, ular bir-birini oʻrnini toʻldiradi;
• agar toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlari teng boʻlsa katetlari qarshisidagi burchaklari 45° dan va Pifagor teoremasiga koʻra gipotenuzasi quyidagi formula yordamida topiladi:c=√2a;
• burchaklari oʻzaro 30° va 60° dan iborat toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kichik burchak qarshisidagi katetning ikkilanganiga teng:$c=2b$;
• barcha toʻgʻri burchakli uchburchakda, gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng :$m_{c}=c/2$.

Yuzini hisoblash

Uchburchak yuzini hisoblashni bir necha usulllari boʻlib. Bularni ichida eng soddasi ushbu formula bilan hisoblanadi: :$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh_{b}$

Bu yerda S — uchburchak yuzi, b — uchburchak asosi(uchburchak tomoni), $h_{b}$- asosga tushirilgan balandlik. Biz bu formulani faqatgina balandlik va asosi aniq boʻlganda qoʻllashimiz mumkin.

Geron formulasi yordamida hisoblash

Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq boʻlgandagina foydalanish mumkin. Geron formulasi quyidagicha:

:$\mathrm {S} ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Bu yerda $p={\frac {a+b+c}{2}}$ ga teng yoki uchburchak peremetrini yarmi deb olsak ham boʻladi, $a,b,c$ — uchburchak tomonlari uzunligi.

Geron formulasi yozilishining yana 2 ta ekvivalent yoʻli bor:

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

Burchak sinusi yordamida hisoblash

Tomonlari a, b, c va burchaklari α, β, γ boʻlgan uchburchak.

Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boʻyicha hisoblash mumkin. Yaʼni quyidagi formula orqali: $\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta$. Bu yerda a, b, c — uchburchak tonomlari, α,β,γ — uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.

Medianalar orqali hisoblash

Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ham aniq boʻlganda biz quyidagi formula orqali uchburchak yuzini hisoblaymiz:

$\mathrm {S} ={\frac {4}{3}}{\sqrt {m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}}$

Bu yerda $m={\frac {m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2}}$, $m_{a},m_{b},m_{c}$ — tomonlariga tushirilgan mediana uzunligi.

Uchburchaklarning tengsizligi

Uchburchak tomonlarini ixtiyoriy belgilab boʻlmaydi. Ular quyidagi tengsizliklar bilan bogʻlangan (a, b, c uchburchak tomonlari):

• $a<b+c$
• $b<c+a$
• $c<a+b$

Yuqoridagi tengsizliklardan birortasi bajarilmagan holatda esa, uchburchak chala deb ataladi.

Uchburchaklar tengligi alomatlari

Uchburchaklar elementlarining quyidagi uchta alomatlariga asoslanib teng uchburchaklar hisoblanadi:

• a, b, c (uchala tomonlarining tengligi);
• a, b, γ (ikki tomonlari va ular orasidagi burchak tengligi);
• a, β, γ (bir tomoni va unda yotgan burchaklari tengligi).

Oʻxshash uchburchaklar

Oʻxshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional boʻladi. Ikki oʻxshash uchburchak yuzlari nisbati o'xshashlik koeffitsentining kvadratida teng.

Uchburchak oʻxshashligining alomatlari:

• Teorema (Uchburchak oʻxshahsligining BTB alomati):Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga mos ravishda teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
• Teorema (Uchburchak oʻxshashligining TBT alomati):Aga bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional va bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
• Teorema (Uchburchaklar oʻxshashligining TTT alomati):Agar bir uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda proporsional boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.

Havolalar

• Uchburchak formulalari — Geometry Atlas.
• Uchburchak kalkulyatori- uchburchakning uchta tomoni va burchagi berilganda, qolgan burchak va tomonlarini hisoblaydi.